MDC e MMC

1 - MDC - MÁXIMO DIVISOR COMUM

Definição: dados dois números inteiros a e b não nulos, define-se o máximo divisor comum - MDC, como sendo o maior inteiro que divide simultaneamente a e b.
O MDC de dois números será indicado por MDC (a, b).
Óbvio que se tivermos o MDC de n números inteiros a1, a2, a3, ... , an , indicaremos por 
MDC (a1, a2, a3, ... , an)

Exemplos:

1 - Determine o MDC dos inteiros 10 e 14.
Os divisores positivos de 10 são: 1, 2, 5, 10.
Os divisores positivos de 14 são: 1, 2, 7, 14.
Os divisores comuns, são, portanto: 1 e 2.
Portanto, o máximo divisor comum é igual a 2 e, indicamos:  MDC(10,14) = 2.

2 - Determine MDC (4, 10, 14, 60)
Os divisores positivos de 4 são: 1, 2, 4
Os divisores positivos de 10 são: 1, 2, 5, 10
Os divisores positivos de 14 são: 1, 2, 7, 14
Os divisores positivos de 60 são: 1, 2, 3, 4, 5, 6, 10, 12, 15, 60
Os divisores comuns são, portanto: 1 e 2.
Portanto o MDC é igual a 2, ou seja: MDC (4, 10, 14, 60) = 2

Notas:

1.1 - um número inteiro positivo p ¹ 1 é denominado número primo, se e somente se os seus divisores positivos são 1 e p. Pode-se provar que o conjunto dos números primos é um conjunto infinito.

Sendo P o conjunto dos números primos, podemos escrever:
P = {2, 3, 5, 7, 11, 13, 17, 19, 23, 29, 31, 37, 41, 43, 47, 53, 61, ... }
Observa-se que 2 é o único número par que é primo.

1.2 - todo número inteiro maior do que 1, que não é primo, pode ser decomposto num produto único de fatores primos. Esta afirmação é conhecida como o Teorema Fundamental da Aritmética - TFA.

Exemplos:

15 = 5.3
40 = 5.8 = 5.2.2.2 = 5.23
120 = 40.3 = 5.2.2.2.3 = 5.23.3
240 = 2.120 = 2.5.2.2.2.3 = 5.24.3

Na prática, podemos usar o seguinte esquema:
Seja o caso de 240 acima. Teremos:

240 |2
120 |2

60

 |2

30

 |2

15

 |3

5

 |5

1

 |

Então: 240 = 2.2.2.2.3.5 = 24.3.5
A decomposição de um número em fatores primos, é conhecida também como fatoração , já que o número é decomposto em fatores de uma multiplicação.

Usando o dispositivo prático acima, vamos fatorar o número 408.
Teremos:

408 |2
204 |2
102 |2

51

 |3

17

 |17

1

 |

Então: 408 = 2.2.2.3.17 = 23.3.17

1.3 - O método de decomposição de um número num produto de fatores primos, sugere uma nova forma para o cálculo do MDC de dois números inteiros não nulos, a e b, ou seja, para o cálculo de MDC (a,b).

Assim, seja calcular o MDC de 408 e 240.
Como já vimos acima, temos:
408 = 2.2.2.3.17 = 23.3.17
240 = 2.2.2.2.3.5 = 24.3.5
Tomando os fatores comuns elevados aos menores expoentes, teremos:
MDC (408, 240) = 23.3 = 8.3 = 24 , que é o MDC procurado.
Portanto, MDC (408, 240) = 24.

1.4 - o MDC do exemplo anterior, poderia ser também determinado pelo método das divisões sucessivas, cujo dispositivo prático é mostrado a seguir:

  1 1 2 3
408 | 240 | 168 | 72 | 24
168 | 72| 24| 0  

Para entender o dispositivo prático acima, basta observar que:
408:240 = 1 com resto 168
240:168 = 1 com resto 72
168:72 = 2 com resto 24
72:24 = 3 com resto zero.
Portanto o MDC procurado é igual a 24, conforme já tínhamos visto antes.

1.5 - se o MDC de dois números inteiros a e b for igual à unidade, ou seja, MDC (a,b) = 1, dizemos que a e b são primos entre si, ou que a e b são co-primos.
Ou seja:
MDC (a, b) = 1 Û a e b são primos entre si (co-primos).
 Û a e b são primos entre si   (co-primos).
 Exemplo: MDC (7, 5) = 1 \ 5 e 7 são primos entre si.

2 - MMC - MÍNIMO MÚLTIPLO COMUM

Definição: dados dois números inteiros a e b não nulos, define-se o mínimo múltiplo comum - MMC, indicado por MMC (a,b) , como sendo o menor inteiro positivo, múltiplo comum de a e b.

Exemplo:

Determine o MMC dos inteiros 10 e 14.
Os múltiplo positivos de 10 são: 10, 20, 30, 40, 50, 60, 70, 80, 90, 100, 110, ...
Os múltiplos positivos de 14 são: 14, 28, 42, 56, 70, 84, 98, 112, 126, 140, ...
Portanto, o mínimo múltiplo comum é igual a 70 e, indicamos:  MMC(10,14) = 70.

Dos exemplos anteriores, vimos que: MDC (10,14) = 2 e MMC(10,14) = 70. Observe que:
10.14 = 2.70 = 140 =  MDC(10,14) . MMC(10,14)

Pode-se provar que, dados dois números inteiros positivos a e b, teremos sempre que o produto desses números é igual ao produto do MDC pelo MMC desses números, ou seja:

MDC(a,b) . MMC(a,b) = a . b

Observe que se dois números inteiros positivos a e b são primos entre si
(co-primos), o MDC entre eles é igual a 1, ou seja MDC (a, b) = 1 e, portanto, teremos:
1.MMC(a,b) = a . b \ MMC(a, b) = a . b , ou seja:

O Mínimo Múltiplo Comum de dois números primos entre si é igual ao produto deles.

Exemplos:
MMC(3, 5) = 3.5 = 15
MMC(7, 5, 3) = 7.5.3 = 105

Dois exercícios simples:

1 - O máximo divisor de dois números é igual a 10 e o mínimo múltiplo comum deles é igual a 210. Se um deles é igual a 70, qual o outro?

Solução:

Ora, pelo que vimos acima, 10.210 = 70.n \ n = 30.

2 - Encontre um par ordenado (m,n) de números inteiros, que verifique a relação 
MDC(180, 1200) = 180m + 1200n.

Solução:

Inicialmente, vamos determinar o MDC entre 180 e 1200:
Os divisores positivos de 180 são:
1, 2, 3, 6, 9, 10, 12, 15, 18, 20, 30, 60, 90 , 180.
Os divisores positivos de 1200 são:
1, 2, 3, 4, 6, 8, 10, 12, 15, 20, 25, 30, 40, 50, 60, 80, 100, 120, 150, 200, 300, 400, 600, 1200.

Portanto, o máximo divisor comum - MDC - de 180 e 1200 é igual a 60, ou seja:
MDC(180, 1200) = 60
Nota: poderíamos, é claro, determinar o MDC por qualquer um dos métodos indicados neste texto.

Sabemos que DIVIDENDO = DIVISOR x QUOCIENTE + RESTO
Ora, dividindo 1200 por 180, obteremos quociente 6 e resto 120.
Então, é lícito escrever: 1200 = 6.180 + 120
Aqui, vou usar um artifício: como 120 = 180 - 60, então poderemos escrever: 1200 = 6.180 + (180 - 60).
Então, 1200 = 6.180 + 180 - 60 = 6.180 +1.180 - 60
Colocando o 180 em evidencia, fica:
1200 = 180(6 + 1) - 60, ou finalmente,
1200 = 180.7 -  60
1200 - 180.7 = -  60
Multiplicando ambos os membros por ( - 1), fica:
- 1200 + 180. 7 = 60
180.7 - 1200 = 60

180.7 + 1200( - 1) = 60

Comparando com os dados do enunciado da questão, teremos:
MDC (180, 1200) = 180m + 1200n = 60
Logo,  vem imediatamente que m = 7 e n = -1,  e portanto, o par ordenado (7, -1) é uma solução inteira da equação 180m + 1200n = 60.

.Agora resolva este:
Se MDC (210, 1225) = 210a + 1225b, pede-se determinar um par (a,b) de números inteiros, que satisfaça a igualdade acima.
Resp: a = 6 e b = - 1.

Veja mais exercícios de MDC e MMC , visitando os arquivos Exercícios de Aritmética I e Exercícios de Aritmética II. 

 Paulo Marques, Feira de Santana - BA, 23 de janeiro de 2000 - revisado e ampliado em 28/08/2009.

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