Considerações sobre uma questão na UFBA: gogogogogog...ogogog = Gn

Nota: UFBA - Universidade Federal da Bahia

Vamos tecer algumas considerações relativas à seguinte proposição contida numa prova de vestibular da UFBA - 1ª fase - 2005, cuja análise foi solicitada por um visitante do site:

Considerando a função g:R®R, tais que g(x) = px + q, sendo  p ÎR* e qÎR, é correto afirmar:
G1 = g, G2=gog, G3=gogog, ..., são funções afins, cujos coeficientes angulares formam uma progressão geométrica de razão p, e o coeficiente linear da função Gn é igual a q(pn -1)/(p-1).

Solução: O nosso objetivo é classificar a proposição dada, como VERDADEIRA ou FALSA. Vamos ao desenvolvimento:

Já sabemos, conforme o enunciado que G1 = g(x) = px + q, onde p é não nulo e q um número real qualquer. Da teoria, sabemos que esta é uma função afim de coeficiente angular p e coeficiente linear q.
Nota: consta que o termo função afim foi usado pela primeira vez por Euler (pronuncia-se oiler), grande matemático suiço do século XVIII (1701 – 1783).

Vamos determinar a função G2=gog
Ora, sabemos da teoria que , dadas duas funções g e f, poderemos obter as funções compostas gof (x)= g[f(x)] e fog(x) = f[g(x)]. Neste caso particular, necessitamos de gog(x) = g[g(x)], ou seja, a composição de uma função com ela própria.
Lembrando que g(x) = px + q, fica:
gog = gog(x) = g[g(x)] = g[px+q] = p(px+q) + q = p2x + pq + q

Nota: como g(x) = px+q, teremos que g(u) = pu+q, g(s)= ps+q, g(w) = pw+q e assim sempre; portanto, está explicado o porquê de  g(px+q)=p(px+q)+q.

Logo, em resumo, temos que G2 = gog = p2x + pq + q . Observe que esta é também uma função afim de coeficiente angular p2 e coeficiente linear pq+q = q(p+1).

Vamos agora determinar G3 = gogog

Ora, a operação “o” - composição de funções -  é associativa ou seja: dadas as funções f, g e h, é lícito escrever 
fogoh = fo(goh) = (fog)oh.
Assim, gogog(x) = go[gog(x)]; como já conhecemos gog(x) = p2x + pq+q, vem:

gogog = gogog(x) = g[gog(x)] = g(p2x+pq+q)
Como este site foi concebido sobretudo para os principiantes, vale aqui uma observação antes de determinar g(p2x+pq+q):
Sabemos que g(x)=px+q e, portanto, g(A) = pA+q; tudo funciona como se fizéssemos A = p2x+pq+q; substituindo, teremos então:
g(p2x+pq+q) = p(p2x+pq+q) + q = p3x + p2q + pq + q

Então, poderemos concluir que G3 =  gogog = p3x + p2q + pq + q
Observe que G3 é uma função afim de coeficiente angular p3 e coeficiente linear  p2q + pq + q = q(p2 + p + 1)

Até agora, obtivemos os seguintes resultados:
G1 = px + q (dado no enunciado da questão)
G2 = gog = p2x + pq + q
G3 =  gogog = p3x + p2q + pq + q
Aqui, já podemos “enxergar” uma lei de formação mas ...

Vamos ser insistentes e determinar gogogog .
Ora, gogogog(x) = g[gogog(x)] = g(p3x + p2q + pq + q)
Analogamente, lembrando que g(x) = px+q, obteremos:
gogogog = g(p3x + p2q + pq + q) = p(p3x + p2q + pq + q)+q = p4x + p3q+p2q +pq+q

Até agora, obtivemos os seguintes resultados:
G1 = px + q (dado no enunciado da questão)
G2 = gog = p2x + pq + q
G3 =  gogog = p3x + p2q + pq + q
G4 = gogogog = p4x + p3q+p2q +pq+q

Observando atentamente os quatro resultados obtidos  e considerando-se a lei de formação evidente, poderemos inferir:

Gn = pnx + pn-1q+ pn-2q+pn-3q + ... + q
Colocando o termo comum q em evidencia, fica:
Gn = pnx + q(pn-1+ pn-2+pn-3 + ... + 1)

Observe agora que a função Gn é uma função afim de coeficiente angular pn e coeficiente linear igual a q(pn-1+ pn-2+pn-3 + ... + 1).

Relembrando que o enunciado da questão é: “Considerando a função g:R®R, tais que g(x) = px + q, sendo  p ÎR* e qÎR, é correto afirmar:
G1 = g, G2=gog, G3=gogog, ..., são funções afins, cujos coeficientes angulares formam uma progressão geométrica de razão p, e o coeficiente linear da função Gn é igual a q(pn-1/p-1)” , podemos concluir que a a primeira parte da proposição é verdadeira pois o coeficiente angular de Gn é, como vimos, igual a pn e se distribuem na forma p, p2, p3, ... , pn, o que confirma que trata-se de uma Progressão Geométrica – PG  de razão p.

Vamos agora analisar o coeficiente linear da função Gn:

Já vimos que o  coeficiente linear da função Gn é igual a
q(pn-1+ pn-2+pn-3 + ... + 1).

Ora, já conhecemos a identidade  Sn – 1 = (S -1)(Sn-1+Sn-2+Sn-3+...+ S + 1), onde S é um número real qualquer. 

Então, é lícito escrever:
Sn-1+Sn-2+Sn-3+...+ S + 1 = (Sn -1)/(S-1)  de onde concluímos, por analogia,  que
pn-1+ pn-2+pn-3 + ... + 1 = (pn – 1)/(p-1).
Então, o coeficiente linear da função Gn que já sabemos ser igual a q(pn-1+ pn-2+pn-3 + ... + 1), será igual finalmente a
q.(pn -1)/(p-1), expressão obtida por mera substituição. 

Ora, este resultado coincide com a segunda parte do enunciado e assim, como já vimos acima que a primeira parte do enunciado é verdadeira, concluímos que a proposição composta apresentada é VERDADEIRA.

Agora resolva esta: considerando-se a função g do exercício anterior, determine G6.
Resposta: G6 = p6x + q(p5-1)/(p-1)

Paulo Marques, 26 de outubro de 2009 - Feira de Santana - BA - editado em 22 de abril 2012.
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