Uma certa classe de funções

Determine todas as funções f tais que

quaisquer que sejam os números reais x, y.

Solução:

Fazendo x = y = 0,  já que todas as funções f que satisfazem à condição dada, pelo enunciado, estão definidas para todo x e y real, vem:
f(0²) – f(0²) + 2.0 + 1 = f(0 + 0).f(0 – 0)

Daí, vem:
f(0) – f(0) + 1 = f(0).f(0) = [f(0)] ²  . 
Como f(0) - f(0) = 0, vem:
0 + 1 = [f(0)] ²
1 = [f(0)] ², de onde vem: f(0) = ± 1.

Pelo conceito de função , o elemento 0 não poderá ter duas imagens (1 e –1), e, portanto, apenas um desses valores deve ser válido.

Fazendo y = x  na igualdade dada no problema, vem:
f(x²) – f(x²) + 2x + 1 = f(x + x) . f(x – x)

Como f(x²) = f(x²), vem da igualdade acima:
2x + 1 = f(2x).f(0)

Fazendo uma mudança de variável, colocando 2x = u, vem:
u + 1 = f(u).f(0)

Supondo f(0) = 1 (do resultado obtido acima), fica:
f(u) = u + 1

Supondo f(0) = -1 (também do resultado obtido acima), fica:
f(u) = - (u + 1)

Como é indiferente usar o símbolo u  ou  x, teremos:
f(x) = x + 1  ou f(x) = - (x + 1).

Seriam estas duas funções, a solução do problema proposto. 
Mas, como é dito que f é uma função, f(0) não pode ter duas imagens (1 e –1), conforme já foi relatado anteriormente.

Temos então que verificar os dois resultados, para saber qual a que satisfaz ao problema proposto.

Consideremos que y = f(x) = x + 1, seja uma solução procurada.

Como, já sabemos do enunciado que:

Vem,
f(x) = x + 1
f(x²) = x² + 1
y = f(x) Þ y² = [f(x)]² = (x + 1)²

f(y²) = y² + 1 = (x +1)² + 1
f(x + y) = f[x + (x +1)] = f(2x + 1) = (2x + 1) + 1 = 2x + 2
f(x – y) = f[x – (x + 1)] = f(-1) = -1 + 1 = 0

Substituindo, vem:

x² + 1 – [(x +1)² + 1]+ 2x + 1 = (2x + 1).0
x² + 1 –(x² + 2x + 1 + 1)+ 2x + 1 = 0
x² + 1 – x² – 2x – 2 + 2x + 1 = 0

Simplificando, vem 0 = 0, e, portanto, a função y = f(x) = x + 1, satisfaz ao problema. 

Por extensão, sabendo que f é uma função, é razoável supor que o valor de f(0) (que deve ser único, pelo conceito de função ) é igual a  f(0) = 1 e que o resultado f(0) = -1, não serve.

Deixamos como exercício para o visitante, verificar que f(x) = - (x+1), não satisfaz ao problema proposto. Isto é fácil; basta seguir os passos indicados acima para f(x) = y = x + 1.

Portanto, a única função que obedece ao critério do enunciado do problema proposto, é a função y = x + 1.

Resposta: Só existe uma função que satisfaz à condição dada no enunciado e esta função é y = f(x) = x + 1.

Nota: esta questão compareceu na prova da 9ª Olimpíada de Matemática do Cone Sul, realizada no ano de 1998, na cidade de Salvador - BA.

Paulo Marques, 02 de novembro de 2000.

VOLTAR