Potências e radicais - parte I

1 – Potência de expoente natural

Sendo a um número real e n um número natural maior ou igual a 2, definimos a n-ésima 
(enésima) potência de a como sendo:

an = a.a.a.a.a. … .a

onde o fator a é repetido n vezes, ou seja, o produto possui n fatores.

Denominamos o fator a de base e n de expoente; an é a n-ésima potência de a.

Portanto, potência é um produto de n fatores iguais. 
A operação através da qual se obtém uma potência, é denominada potenciação.

Exemplos:

72 = 7.7 = 49
25 = 2.2.2.2.2 = 32
63 = 6.6.6 = 216
107 = 10.10.10.10.10.10.10 = 10000000 (dez milhões)
106 = 10.10.10.10.10.10 = 1000000 (um milhão)

Nota:
Observe que a potência 10n é igual a 1 seguido de n zeros.
Assim, por exemplo, 1010 = 10000000000 (dez bilhões).

1.1 – Convenções:

a) potência de expoente zero
a0 = 1
Exemplos: 45670 = 1; 2430 = 1; (- 2001)0 = 1

b) potência de expoente unitário
a1 = a
Exemplos: 231 = 23; 20011 = 2001.

1.2 – As potências de expoente 2 e 3 recebem nomes especiais, a saber:
a2 = a.a, é lido como a ao quadrado.
a3 = a.a.a, é lido como a ao cubo.

1.3  – Propriedades das potências

São válidas as seguintes propriedades das potências de expoentes naturais, facilmente demonstráveis:

P1)
am . an = am+n
Exemplo: 25.23 = 25+3 = 28 = 2.2.2.2.2.2.2.2 = 256

P2) am : an = am-n
Exemplo: 57:54 = 57-4 = 53 = 5.5.5 = 125

P3)
(am)n = am.n
Exemplo: (42)3 = 42.3 = 46 = 4.4.4.4.4.4 = 4096

P4)
am.bm = (a.b)m
Exemplo: 23.43 = (2.4)3 = 83 = 8.8.8 = 512

P5)
am:bm = (a:b)m
Exemplo: 124:34 = (12:3)4 = 44 = 4.4.4.4 = 256

P6)
a-n = 1/an
Exemplo: 5-2 = 1/52 = 1/5.5 = 1/25
 

Esta propriedade decorre de P2, ou seja: a-n = a0/an = a0-n = a-n.

Nota: estas propriedades também são válidas para expoentes reais.

Exercício
:

Calcule o valor da expressão a seguir:

A = {[(23.24 : 43)]5}-2

Desenvolvimento:

A = {[(27 : (22)3)]5}-2 = {[27 : 26]5}-2 = {[21]5}-2 =  2-10 = 1/210 = 1/1024

2 - Radicais

A forma mais genérica de um radical é: 

onde c = coeficiente, n = índice e A = radicando.

O radical acima é lido como: c raiz n-ésima (enésima) de A.

Se n = 2, costuma-se não representar o número 2 e lê-se como c raiz quadrada de A.

Se n = 3, lê-se o radical como c raiz cúbica de A.

Exemplos:


 que é lido com 5 raiz cúbica de 25, onde 5 é o coeficiente, 3 é o índice e 25, o radicando.

3
Ö10  que é lido como 3 raiz quadrada de 10, onde 3 é o coeficiente, 2 (não indicado, por convenção) é o índice e 10, o radicando.

2.1 - Potência de expoente fracionário



Exemplo:



A propriedade acima decorre de:
Seja   x = am/n . Podemos escrever: xn = (am/n)n e, daí, xn = am de onde vem, extraindo-se a raiz n-ésima de ambos os membros:  



2.2 – Introduzindo o coeficiente num radical

Uma importante propriedade dos radicais é a seguinte:  


Exemplo:  



Portanto, para introduzir um coeficiente num radical, basta elevar este coeficiente a um expoente igual ao seu índice.

Esta propriedade é bastante útil também, para a simplificação de radicais, pois às vezes, a depender do tipo de problema que está sendo abordado, pode tornar-se necessário percorrer o caminho inverso. Assim, por exemplo,  




2.3 – Raiz de raiz

Outra propriedade muito importante dos radicais é a que segue:  

Exemplo:  



A operação com radicais é denominada RADICIAÇÃO e, esta operação é a inversa da POTENCIAÇÃO.

Isto decorre de:



Exemplos:

Como 2 elevado a 4 é igual a 16, dizemos que 2 é uma raiz quarta de 16.
Como 3 elevado a 2 é igual a 9, dizemos que 3 é uma raiz quadrada de 9.
Como 5 elevado a 3 é igual a 125, dizemos que 5 é uma raiz cúbica de 125, etc

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Paulo Marques, 28 de julho de 2001, Feira de Santana – BA.

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