Duas equações irracionais bastante interessantes: a segunda , muito mais que a primeira.

1 - Resolva a seguinte equação irracional em R:
Nota:  R = conjunto dos números reais

Solução:

A raiz quadrada no denominador do primeiro membro nos indica claramente que x é um número real positivo, pois não existe raiz quadrada real de número negativo e o denominador de uma expressão não pode ser nulo, pois não existe divisão por zero.
A equação acima é dita irracional porque contém uma incógnita sob radical, no caso o Öx .

Posto isto, façamos Öx = y , de onde tiramos x = y2 .
Substituindo na equação dada fica:

50y2 / y = (y2 / 2) + 500

Simplificando, lembrando que y > 0, pois y = Öx , vem:

50y = y2 / 2 + 500

Multiplicando ambos os membros por 2, teremos:

100y = y2 + 1000

Arrumando convenientemente, vem:

y2 – 100y + 1000 = 0

Trata-se de uma equação do segundo grau em y , do tipo ay2 + by + c = 0, cuja
resolução pode ser feita pela aplicação da fórmula de Bhaskara:
y = (-b ± ÖD) / 2a onde D = b2 – 4ac, termo conhecido como discriminante.
No nosso caso temos: a = 1, b = -100 e c = 1000.
Aplicando a fórmula acima teremos então:
y = (100 ± 20Ö15) / 2 = 50 ± 10Ö15

Lembrando que y > 0, observe que ambas raízes servem ao problema, já que
tanto 50 + 10Ö15 como 50 - 10Ö15 são números positivos.

Lembrando que x = y2   vem, substituindo:

x = (50 ± 10Ö15)2 = 502 ± 2.50.10Ö15 + (10Ö15)2 = 4000 ± 1000Ö15

Portanto, as raízes procuradas são:
x = 4000 + 1000Ö15    ou   x = 4000 - 1000Ö15

Portanto, as raízes da equação dada são dois números irracionais, cujos valores aproximados são :

x1 = 4000 + 1000Ö15 = 1000(4 + Ö15) @ 7872,9833
x2 = 4000 - 1000Ö15 = 1000(4 - Ö15)  @ 127,0167

Por simples substituição dos valores na equação original, confirmamos que os valores acima são realmente as soluções da equação proposta.

2 - Agora resolva esta equação irracional em R :



Veja a solução desta equação AQUI.

Paulo Marques, 08 de agosto de 2002 – ampliado em 27/10/2008 - Feira de Santana – BA.

VOLTAR