Calcule o valor de f(x)

Seja f : R ® R uma função tal que f(1/ 2) = 2Ö2 e f(x + y) = f(x) . f(y) " x, y Î R.
Calcule:
a) f(1)
b) f(5/3)
c) f(x)
d) f(-1/3)

Solução:

O símbolo " significa qualquer que seja ou para todo .

Os dados do problema são :

f(1/ 2) = 2Ö2
f(x + y) = f(x) . f(y) " x, y Î R

Podemos escrever, com base na segunda condição acima:
f(0 + 1) = f(0) . f(1) \ f(1) = f(0).f(1)
Ora, se f(1) = f(0).f(1) , então f(0) = f(1) / f(1) = 1, ou seja, f(0) = 1.

O símbolo \ significa de onde se deduz que .

Vejam que:
1/2 + 1/2 = 1
Daí, poderemos escrever com base no enunciado:

f(1/2 + 1/2) = f(1/2) . f(1/2)
Ora, pelo enunciado da questão, temos que f(1/2) = 2Ö2
Substituindo, vem:

f(1) = 2Ö2 . 2Ö2 = (2Ö2)2 = 4.2 = 8

Agora é tranqüilo:
f(2) = f(1 + 1) = f(1) . f(1) = 8.8 = 64 = 26
f(3) = f(2 + 1) = f(2).f(1) = 64 . 8 = 512 = 29
f(4) = f(3 + 1) = f(3) . f(1) = 512 . 8 = 4096 = 212
f(5) = f(4 + 1) = f(4) . f(1) = 4096 . 8 = 211 . 23 = 215
............................................................................
.............................................................................

Vamos resumir os resultados obtidos acima?
f(0) = 20
f(1) = 23
f(2) = 26
f(3) = 29
f(4) = 212
f(5) = 215
..................
Podemos concluir observando os resultados acima que f(x) = 23x .
Assim, poderemos determinar o valor da função para qualquer valor de x. Então:
f(5/3) = 23(5/3) = 25 = 32.
f(-1/3) = 23(-1/3) = 2-1 = 1/2.

Paulo Marques, 23 de agosto de 2002 – Feira de Santana – BA.

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