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Coletânea de exercícios de funções |
1 - Seja f a função real de variável real definida pela sentença f(x) = x / (x – 1)
a)
determine os valores de f(0) , f(1/2) e f(1)
b) determine o
domínio e o conjunto imagem da função
c)
determine a sua inversa
Solução:
a)
determine os valores de f(0) , f(1/2) e f(1)
Sendo f(x) = x
/ (x – 1), f(0) = 0 / (0 – 1) = 0 / (-1) =
0
Analogamente, f(1/2) = (1/2) / (1/2 – 1) = (1/2) / (-1/2) =
-1
Quanto a f(1), observe que f(1) = 1 / 1 – 1 = 1 / 0 e como
não é possível a divisão por zero,
dizemos que a função f não está definida
para x = 1. Podemos dizer de uma forma equivalente que 1 não
pertence ao domínio ou campo de definição da
função dada.
b) determine o domínio e o
conjunto imagem da função
Ora,
sendo o domínio ou campo de definição de uma
função formado pelos valores possíveis para a
variável independente x, deveremos ter como condição
de existência para y (variável dependente),
que x –
1 ¹ 0 ou x ¹
1, já que não é possível a divisão
por zero. Logo, poderemos escrever o domínio desta função
como sendo:
D(f) = {x Î R;
x ¹ 1} = R – {1} , onde R
é o conjunto dos números reais.
Para achar o
conjunto imagem da função ou seja, os valores assumidos
pela variável dependente y, teremos, lembrando que y = f(x)
:
y = x / (x – 1) \
multiplicando ambos os membros por x – 1 ¹
0 (para eliminar o denominador x – 1, fica:
y (x – 1) = x .
Vamos resolver esta igualdade em relação a x :
y.x
– y = x \ x.y – x = y \
x(y – 1) = y \ x = y / (y –
1)
Ora, como y – 1 está no denominador , tem de ser
obrigatoriamente diferente de zero,
ou seja: y – 1 ¹
0 \ y ¹
1.
Portanto, o conjunto imagem da função será
dado por:
Im(f) = { y Î R;
y ¹ 1} = R – {1}.
c)
determine a sua função inversa f -1(x)
Sendo
f(x) = y = x / (x – 1), para achar a expressão que define
a sua inversa, basta permutar as variáveis x e y, obtendo: x =
y / (y – 1). Vamos resolver esta expressão em relação
a y .
Multiplicando ambos os membros por y – 1 ¹
0 (para eliminar o denominador
(y – 1), fica: x (y – 1)
= y \ x.y – x = y \
x.y – y = x \ y (x – 1) =
x \
y = x / (x – 1) ou
seja: f -1(x) = x / (x – 1).
Observe que a
expressão que define a função f e a sua inversa
f –1 neste caso são iguais. Isto na ampla
maioria das vezes não ocorre.
2
- Sobre a função y = x / (x – 1) é
correto afirmar:
a) o seu domínio é o conjunto R
dos números reais
b) o seu conjunto imagem é o
conjunto R dos números reais
c) o seu gráfico é
uma parábola de eixo vertical
d) o seu gráfico é
uma curva simétrica em relação à reta y =
x
e) todas as alternativas anteriores são
incorretas
Solução:
As
alternativas (a) e (b) são incorretas pois vimos na questão
anterior que o domínio e o conjunto imagem são ambos
iguais a R – {1} e, portanto, diferentes de R.
A
alternativa (c ) também é falsa, pois as parábolas
de eixo vertical são representações das funções
quadráticas do tipo
f(x) = ax2 + bx + c com a ¹
0.
Vamos analisar a alternativa (d): vimos no exercício
anterior que as expressões que definem a função
f(x) e a sua inversa f –1(x) são iguais. Ora,
já sabemos que o gráfico de uma função
e da sua inversa são curvas simétricas em relação
à reta y = x (bissetriz do primeiro quadrante). Como f e f –1
neste caso são iguais, os seus gráficos terão
que ser necessariamente iguais. Portanto, o gráfico da função
f será uma curva simétrica em relação à
reta y = x e a alternativa (d) é verdadeira.
3
- Sendo f uma função tal que
f(x + 10) = x – 10 , pede-se determinar x de modo
que se tenha x + f(x) = 10.
Solução
:
Sendo f(x + 10) = x – 10 , façamos x + 10 = u ;
isto é conhecido como mudança de variável.
Se
x + 10 = u , teremos que x = u – 10. Substituindo na expressão
inicial vem:
f(u) = (u – 10) – 10 = u – 20
.
Portanto, f(u) = u – 20.
Então poderemos
escrever f(x) = x – 20.
O problema pede para
determinar x de forma que x + f(x) = 10.
Substituindo, teremos:
x
+ (x – 20) = 10 \ 2x = 10 + 20
= 30 \ x = 30 / 2 = 15.
Resposta:
x = 15.
4
– Seja F uma função de domínio
N = {1, 2, 3, 4, 5, ...} , tal que F(1) = 2 e
F(n
+ 1) = [2.F(n) + 1] / 2
Nestas
condições, o valor de F(101) é:
a) 49
b)
50
c) 51
d) 52
e) 100
Solução
:
Temos: F(n+1) = (2F(n) + 1) / 2
n = 1 Þ
F(1 + 1) = (2F(1) + 1) / 2
Como é dado que F(1) = 2, vem
substituindo:
F(2) = (2.2 + 1) /2 = 5/2
Usando o resultado
obtido acima para F(2) vamos determinar F(3):
F(2 + 1) = (2F(2) +
1) / 2 = (2.5/2 + 1) / 2 = 3
F(3) = 3
Analogamente,
F(3
+ 1) = (2F(3) + 1) / 2 = (2.3 + 1) / 2 = 7/2
f(4) = 7/2
Vamos
resumir os resultados já obtidos:
F(1)
= 2 = (1 + 3) / 2
F(2)
= 5/2 = (2 + 3) / 2
F(3)
= 3 = (3 + 3) / 2
F(4)
= 7/2 = (4 + 3) /
2
...........................................................................................................
Da
observação dos resultados anteriores é razoável
supor que
F(n) = (n
+ 3) / 2
Portanto, F(101) = (101 + 3) / 2 = 104 / 2 = 52, o
que nos leva à alternativa (d).
5
– Sendo f uma função real
de variável real tal que f(x + y) = x + f(y) e sendo
f(0) = 2 , pede-se determinar f(2000).
Solução
:
Observe que fazendo x = 2000 e y = 0, a solução
é imediata pois:
f(2000 + 0) = 2000 + f(0) e como é
dado que f(0) = 2, vem:
f(2000) = 2000 + 2 = 2002
6
– Seja f uma função real
de variável real que satisfaz à condição:
f(x)
+ 2f(2002/x) = 3x para x > 0.
Nestas
condições, o valor de f(2) + f(1001) é:
a)
1003
b) 2003
c) 3003
d) 2000
e) - 997
Solução
:
Fazendo x = 2 na expressão dada,
vem:
f(2) + 2f(2002 / 2) = 3.2
f(2) + 2f(1001) = 6
Fazendo
x = 1001 na expressão dada, fica:
f(1001) + 2f(2002 /
1001) = 3.1001
f(1001) + 2.f(2) = 3003
Temos então o
seguinte sistema de duas equações e duas
incógnitas:
f(2) + 2f(1001) = 6
f(1001) + 2.f(2) =
3003
Tirando o valor de f(2) na primeira vem: f(2)
= 6 – 2f(1001)
Substituindo na Segunda,
fica:
f(1001) + 2(6 – 2f(1001)) = 3003
Desenvolvendo,
teremos:
f(1001) + 12 – 4f(1001) = 3003
Resolvendo em
relação a f(1001), vem:
-3f(1001) = 3003 –
12
–3f(1001) = 2991
Logo, f(1001) = 2991 / (-3) = -
997
Substituindo o valor de f(1001) na expressão em
azul acima, fica:
f(2) = 6 – 2 (– 997) = 6 + 1994 =
2000
Portanto, a soma f(2) + f(1001) é igual a:
f(2) +
f(1001) = 2000 + (– 997) = 2000 – 997 = 1003, o que nos
leva à alternativa (a).
7
– Seja f uma função
definida para todo x real , satisfazendo às condições:
f(3)
= 2 e f(x + 3) = f(x) . f(3) . Nestas condições,
determine f(-3).
Solução:
Fazendo
x = 0 vem: f(0 + 3) = f(0).f(3) \
f(3) = f(0) . f(3) , de onde concluímos
inevitavelmente
que f(0) = f(3) / f(3) = 1.
Fazendo x = -3, fica: f(-3 + 3) =
f(-3).f(3) ou, f(0) = f(-3) . f(3)
Como já sabemos que f(0)
= 1, vem substituindo:
1 = f(-3) . 2 , pois é dado no
enunciado que f(3) = 2.
Portanto, f(-3) = 1 / 2.
Agora resolva estes:
1
– Sendo f uma função tal que f(x + 1) = 2x,
determine f(2x).
Resposta: f(2x) = 4x – 2
2 –
Seja f uma função real de variável real que
satisfaz à condição:
f(x) +
2f(2002/x) = 6x para x > 0.
Nestas condições,
calcule o valor de f(2) .
Resposta: f(2) = 4000.
3 –
Qual o domínio da função y = (x +1) / (x2
+ 1) ?
Resposta: R (conjunto dos números reais).
Paulo
Marques, 18 de janeiro de 2003 – Feira de Santana – BA