Um certo e interessante e-mail de Ildo Vejam um e-mail que recebi de um grande brasileiro deste imenso Brasil:
Olá, Caro professor,
Sou muito grato à tua louvável inspiração em criar um site tão cheio de conteúdo e possibilidades. Por meio desta possibilidade criada, venho a ti, muito reverentemente pedir ajuda em esclarecer-me em relação a uma questão que vem me deixando impaciente.
Eis a questão:
"Com os algarismos x, y e z, formam-se os números de dois algarismos: xy e yx, cuja soma é o número de três algarismos zxz. Quanto valem x, y e z?"
Desde já agradeço ao emérito professor pela ajuda e se possível pela breve instrução com relação a esta e outras similares questões serão bem vindas.Um abraço, ... Ildo.
SOLUÇÃO:Ildo: inicialmente quero agradecer-lhe pela visita e elogio ao site Matemática do científico e do vestibular.
Entretanto, recomendo enfaticamente uma visita a este arquivo , para revisar o que significa valor posicional de um algarismo, premissa básica para entender a solução apresentada a seguir.
A solução deste problema pode ser iniciada considerando-se que:
1) o número (xy) pode ser expresso como 10x + y
2) o número (yx) pode ser expresso como 10y + x
3) o número (zxz) pode ser expresso como 100z + 10x + z .
Exemplos:35 = 10.3 + 5
53 = 10.5 + 3
303 = 100.3 + 10.0 + 3
etc
Então, como é dito no enunciado que a soma dos números (xy) e (yx) resulta em (zxz), com base nos argumentos anteriores, é lícito escrever:
(xy) + (yx) = (zxz)
[10x + y] + [10y + x] = [100z +10x +z]
Reduzindo os termos semelhantes, fica:11x + 11y = 101z + 10x
x + 11y = 101z
(x + 10y) + y = 100z + z
(10y + x) + y = 100z + zOcorre que 10y + x = (yx) e 100z + z = 100z + 0z + z = (z0z)
Logo,
(yx) + y = (z0z)
Como x, y e z assumem valores de 1 a 9, a única combinação possível é 92 + 9 = 101 e, portanto,
x = 2, y = 9 e z = 1.Observe que no enunciado é dito: "Com os algarismos x, y e z, formam-se os números de dois algarismos: xy e yx, cuja soma é o número de três algarismos zxz. Quanto valem x, y e z?"
Portanto, a condição (xy) + (yx) = (zxz) é verificada, pois para x=2, y=9 e z=1 teremos, substituindo:
29 + 92 = 121, o que confirma a solução encontrada.Nota: recebi e-mail de outro visitante [Alexsandro S...], perguntando-me sobre a unicidade da solução encontrada ou seja: esta solução seria única? Para responder a este questionamento, vamos tecer as seguintes considerações adicionais:
Vimos acima que x + 11y = 101z , onde x, y e z são algarismos de 1 a 9. [Excluimos o zero pois neste caso (xy) e (yx) para x ou y nulos, o número não teria 2 algarismos, conforme exigido no enunciado.]
Então, de x + 11y = 101z, tiramos x = 101z - 11y e, como 1 ≤ x ≤ 9 poderemos escrever: 1 ≤ 101z - 11y ≤ 9
Temos então as seguintes desigualdades:
101z - 11y ≤ 9 Þ 101z ≤ 9 + 11y
101z - 11y ≥ 1 Þ 101z ≥ 1 + 11y
Daí, poderemos escrever:1 + 11y ≤ 101z ≤ 9 + 11y
Dividindo tudo por 101 (o que não altera a desigualdade, pois 101 é um número positivo), teremos:
(1 + 11y)/101 ≤ z ≤ (9 + 11y)/101Considerando-se que x, y e z são números naturais de 1 a 9, fazendo y variar de 1 a 9, concluiremos que apenas para y = 9, teremos uma desigualdade válida para z, a saber: 0,9901 ≤ z ≤ 1,0693 o que nos leva a concluir que z = 1 (pois z tem que ser natural). Ora, se y = 9, z = 1 e como já sabemos que x + 11y = 101z, decorre imediatamente, por mera substituição que x = 2. Portanto, a solução x = 2, y = 9 e z = 1, é única. Claro que esta forma que apresentei acima não é a única possível, mas, foi aquela que achei agora. Outros caminhos podem ser percorridos, mas, satisfiz-me com esta. Aceitamos de bom grado, sugestões.
Veja um problema similar clicando AQUI.
PS.: Como não recebi autorização para publicar o e-mail do gerador do enunciado da questão, refiro-me simplesmente a um brasileiro - O Ildo, o que nos parece não ferir susceptibilidades nem sensibilidades.
Paulo Marques, Feira de Santana - BA - 03 de julho de 2003 - editado em 01/10/2011.