Contando elementos às margens do Rio São Francisco

Uma escola de idiomas oferece apenas três cursos: um curso de Alemão, um curso de Francês e um curso de Inglês. A escola possui 200 alunos e cada aluno pode matricular-se em quantos cursos desejar. No corrente ano, 50% dos alunos estão matriculados no curso de Alemão, 30% no curso de Francês e 40% no Inglês. Sabendo-se que 5% dos alunos estão matriculados em todos os três cursos, o número de alunos matriculados em mais de um curso é igual a:
a) 30
b) 10
c) 20
d) 40
e) 50

Solução:

Nota:
este problema foi enviado por um visitante do site - da cidade de Juazeiro - BA, pedindo a solução. Ei-la:

Veja a figura a seguir, onde x, y, z, w, r, s e t  representam número de elementos, sendo A, F e I os conjuntos daqueles que estão matriculados nos cursos de Alemão, Francês e Inglês respectivamente:


Do enunciado poderemos escrever o que segue: total de alunos: 200; destes, 50% estão matriculados no curso de Alemão, 30% no curso de Francês e 40% no Inglês e 5% estão matriculados em todos os três cursos.
Então, 
n(A) = 50%.200 = (50/100).200 = (1/2).200 = 100 = x + y + z + w
n(F) = 30%.200 = (30/100).200 = (3/10).200 = 60 = w + z + s + r
n(I) = 40%.200 = (40/100).200 = (4/10).200 = 80 = y + z + s + t

Da figura acima, verificamos imediatamente que o número de alunos matriculados nos três cursos é igual a z; pelo enunciado, este número é igual a 5% dos alunos matriculados em todos os três cursos, ou seja: z = 5%.200 = (5/100).200 = 10.

Então, temos o seguinte sistema de equações lineares:
x + y + z + w = 100
w + z + s + r = 60
y + z + s + t = 80

Substituindo o valor de z = 10 nas equações anteriores, teremos:
x + y + w = 90
w + s + r = 50
y + s + t = 70

Observando novamente a mesma figura (repetida abaixo para facilitar a visualização), e lembrando que o problema pede para determinar o número de alunos matriculados em mais de um curso, concluímos inevitavelmente que o número procurado é igual a N = w + s + y + z já que, pelo diagrama de Venn abaixo, enxergamos facilmente que
z alunos estão matriculados nas três disciplinas, w alunos estão matriculados apenas em Alemão e Francês, s alunos estão matriculados apenas em Francês e Inglês e y alunos estão matriculados apenas em Alemão e Inglês.

Então, o nosso propósito será calcular o valor de N =
w + s + y + z ; como já vimos anteriormente que z = 10, basta agora calcular apenas o valor de w + s + y .

Ainda pela figura, poderemos escrever mais uma equação adicional, a saber:
x + y + z + w + r + s + t = 200 , pois é dito no enunciado que: "
a escola possui 200 alunos e cada aluno pode matricular-se em quantos cursos desejar". Como já sabemos que z = 10, vem, substituindo: x + y + w + r + s + t = 190.



Assim, temos o seguinte sistema de equações lineares:
x + y + w = 90
w + s + r = 50
y + s + t = 70
x + y + w + r + s + t = 190
de onde precisamos tirar o valor de w + s + y.

Observe que temos acima, um sistema de equações lineares composto de 4 equações e 6 incógnitas. Seria muito penoso resolver este sistema linear, não obstante seja plenamente possível, usando o método de escalonamento, por exemplo. Ocorre que perderíamos um tempo muito precioso - coisa inadmissível nos concursos e provas de hoje em dia - altamente competitivos. Como diria o Chapolin Colorado:
e agora, quem haverá de nos salvar!!! Eu! ...  eh eh eh ...

Vejam como eu fiz:
Da última equação, tiramos:
w + s + y = 190 - x - r - t = 190 - (x + r + t)
Somando membro a membro as três primeiras equações, teremos:
x + 2y + 2w + 2s + r + t = 90 + 50 + 70 = 210
Arrumando convenientemente, teremos:
x + r + t + 2(w + s + y) = 210
Então, em resumo, vejam o que obtivemos:
w + s + y = 190 - (x + r + t)
(x + r + t) + 2(w + s + y) = 210

Agora, basta substituir o valor de x + r + t da primeira equação, na segunda, ou seja:
De w + s + y = 190 - (x + r + t), tiramos (x + r + t) = 190 - (w + s + y)
Substituindo na segunda, fica:
190 - (w + s + y) + 2(w +s + y) = 210, de onde tiramos finalmente: w + s + y = 210 - 190 = 20
Ora, como já vimos acima que a solução procurada é N = (w + s + y) + z  e já tínhamos determinado o valor de z (z = 10), teremos: N = 20 + 10 = 30, o que nos leva tranquilamente à alternativa A.

Agora, resolva este, similar:

Um grupo de pesquisadores da área de turismo veio ao nordeste para levantar dados sobre suas potencialidades turísticas e, para tal, foi feito uma escala de visitas às cidades de Natal, Fortaleza e Salvador. Neste trabalho, 25 pessoas visitaram Natal; 12 visitaram Natal, mas não visitaram Fortaleza; 36 visitaram Fortaleza ou Salvador; 6 visitaram Natal e Salvador mas não visitaram Fortaleza; 5 visitaram Natal, Fortaleza e Salvador e, 4 visitaram Fortaleza e Salvador mas não visitaram Natal. Pela escala de visitas apresentadas, pode-se concluir que o número de pesquisadores era de:  
a) 33   
b) 30
c) 36
d) 47
e) 42

Dicas: pela figura abaixo e pelo enunciado, poderemos concluir que: 
x + y + z + w = 25; x + y = 12; w + r + s + z + y + t = 36; y = 6; z = 5; s = 4; agora, ficou fácil ... .A resposta é a letra E.



Paulo Marques, 09 de janeiro de 2010 - Feira de Santana - BA.

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