| Módulo II |
1 – Definição
Das considerações da aula anterior, sabemos que o módulo
de um número real é sempre positivo ou nulo.
Exemplos:
|
-6| = 6 , | 3| = 3 , | 0| = 0 , etc.
Considere x = -10. Sabemos que | x| = | -10| = 10.
Observe que sendo x = -10 um número negativo, o módulo é igual
a 10, que é exatamente o simétrico de –10, ou seja | -10| = -(-10) = 10.
Fica fácil portanto, entender a definição genérica de módulo
de um número real apresentada a seguir:
Dado um número real x , define-se:
| x| = x para x ³ 0
| x| = -x para x < 0
Exemplos:
a) Seja y = |
x - 3|
Para x = 3, temos x – 3 = 0 e portanto | y| = 0
Para x >
3, temos x – 3 > 0 e portanto | y| = x –3
Para x <
3, temos x – 3 < 0 e portanto | y| = - (x – 3) = -x + 3 = 3 – x
b) Seja y = |
2 - x|
Para x = 2, temos 2 – x = 0 e portanto | y| = 0
Para x >
2, temos 2 – x < 0 e portanto | y| = - (2 – x) = -2 + x = x – 2
Para x <
2, temos 2 – x > 0 e portanto | y| = 2 – x
c) Simplifique a expressão y = | 2x - 6| + | x- 3| , para o caso particular de x< 3.
SOLUÇÃO:
Ora, se x < 3 então 2x – 6 < 0 e portanto | 2x - 6| = - (2x – 6) = 6 – 2x
Analogamente, se x < 3 então x – 3 < 0 e portanto | x - 3| = - (x – 3) = 3 - x
Portanto, teremos finalmente:
y = 6 – 2x + 3 – x = 9 – 3x
Ou seja, y = 9 – 3x para x < 3.
Faça agora o mesmo problema para o caso de x > 3.
Resposta: y = 3x – 9
2 – Outra definição importante para
o módulo de um número real x é:
Exemplo: Resolva a equação a seguir:
SOLUÇÃO:
Pela definição vem: | 2x-6| = 12 \ 2x-6=12 ou 2x-6= -12
Portanto, x = 9 ou x = -3.
Agora tente resolver as duas questões a seguir:
1 - PUC/SP – O número de soluções
da equação | | x| - 1| = 1, no universo R é:
a) 0
b) 1
c) 2
d) 3
e) 4
2 - VUNESP/SP – As raízes da equação
| x| 2 + | x| - 6 = 0:
a) são positivas
b) tem soma igual a zero
c) tem soma igual a um
d) tem produto igual a seis
e) tem produto igual a menos seis
Resp: 1D 2B
Paulo Marques - Feira de Santana - BA, 12 de novembro de 2001.