| Produtos Notáveis |
Vamos relembrar aqui, identidades especiais, conhecidas particularmente como Produtos Notáveis.
1 – Quadrado da soma e da diferença
(a + b)2 = a2 + 2ab + b2
(a – b)2 = a2 – 2ab + b2
Das duas anteriores, poderemos concluir que também é válido
que:
(a+b)2 + (a-b)2 = 2(a2+b2)
ou escrevendo de uma forma conveniente:
2 – Diferença de quadrados
(a + b).(a – b) = a2 – b2
3 – Cubo de uma soma e de uma diferença
(a + b)3 = a3 + 3.a2.b + 3.a.b2
+ b3
Para determinar o cubo da diferença, basta substituir na
identidade acima, b por -b, obtendo:
(a – b)3 = a3 – 3.a2.b
+ 3.a.b2 – b3
Uma forma mais conveniente de apresentar o
cubo de soma, pode ser obtida fatorando-se a expressão como
segue:
(a + b)3 = a3 + 3.a.b(a+b) + b3
Ou:
(a + b)3 = a3
+ b3 + 3ab(a + b)
Esta forma de apresentação, é
bastante útil.
Exemplos:
1 – A soma de dois números é igual a 10 e a soma dos seus
cubos é igual a 100. Qual o valor do produto desses números?
SOLUÇÃO:
Temos: a + b = 10 e a3 + b3 = 100.
Substituindo diretamente na fórmula anterior, fica:
103 = 100 + 3ab(10) de onde tiramos 1000 = 100 + 30.ab
Daí, vem: 900 = 30.ab, de onde concluímos finalmente que ab =
30, que é a resposta solicitada.
Nota: os números a e b que satisfazem à condição do problema
acima, não são números reais e sim, números complexos. Você
pode verificar isto, resolvendo o sistema formado pelas
igualdades a+b = 10 e ab = 30. Verifique como exercício!
Alerto para o fato de que é muito trabalhoso. Mas, vá lá,
faça! É um bom treinamento sobre as operações com números
complexos. Pelo menos, fica caracterizada a importância de saber
a fórmula acima. Sem ela, a solução DESTE PROBLEMA SIMPLES,
seria bastante penosa!
2 - Calcule o valor de F na expressão
abaixo, para:
a = -700, b = - 33 , x = 23,48 e y = 9,14345.
SOLUÇÃO: Com a
substituição direta dos valores dados, os cálculos seriam
tantos que seria inviável! Vamos desenvolver os produtos notáveis
indicados:
Se você observar CUIDADOSAMENTE a expressão
acima, verá que o
numerador e o denominador da fração são IGUAIS, e, portanto, F
= 1, INDEPENDENTE dos valores de a, b, x e y.
Portanto, a resposta é igual a 1, independente dos valores
atribuídos às variáveis a, b, x e y.
Resposta : 1
Paulo Marques - Feira de Santana - BA, 10 de janeiro de 2002