| A história de um baú com moedas de ouro |
ITA - SP) Há muito tempo, quando poucas pessoas eram
versadas na arte de contar, houve uma grande tempestade no oceano. Um navio
colhido pelo tufão, foi salvo graças ao trabalho excepcional de dois
marinheiros. Terminada a borrasca, o capitão, decidido a recompensar seus dois
comandados pelo serviço bem executado anunciou que dividiria entre eles no dia
seguinte o conteúdo de um pequeno baú com moedas de ouro, tendo encarregado o
seu imediato desta tarefa. Acontece que os dois marinheiros eram muito amigos e,
querendo evitar o constrangimento de uma partilha pública, um deles teve a
idéia, na madrugada, de pegar a sua parte do prêmio. Indo ao baú, este
marinheiro separou as moedas em dois grupos idênticos e, para surpresa sua,
sobrou uma moeda. Não sabendo como proceder, jogou-a no mar para agradecer aos
deuses a sua sobrevivência e pegou a parte que lhe cabia. Porém, mais tarde, o
segundo marinheiro teve a mesma idéia. Indo ao baú, ele separou as moedas em
dois grupos iguais e, para sua surpresa, sobrou uma moeda. Jogou-a ao mar como
agradecimento pela sorte e tomou a parte que lhe cabia da recompensa. Pela
manhã, os dois marinheiros se sentiram constrangidos em comunicar o
procedimento noturno. Assim, o imediato separou as moedas do baú em dois grupos
e verificou que sobrava uma. Deu a cada um dos marinheiros a sua parte do
prêmio e tomou para si a moeda restante como pagamento pelos seus cálculos.
Sabendo-se que a razão entre as moedas ganhas pelo primeiro marinheiro e pelo
segundo marinheiro foi de 29/17, então o número de moedas que havia
originalmente no baú era:
A) 99
B) 95
C) 135
D) 87
E) 78
Solução:
Sabemos que a metade de um número A é A/2 = (1/2)A .
Seja x o número de moedas de ouro contidas no baú.
Como o marinheiro jogou uma moeda ao mar, ficaram (x-1) moedas; então, o
primeiro marinheiro pegou a metade, ou seja:
(1/2)(x-1) = (x-1)/2 moedas.
O segundo marinheiro encontrou (x-1)/2 moedas, jogou uma moeda ao mar e ficou com a metade. Isto em termos algébricos, fica: (1/2)[(x-1)/2 - 1] = (x - 1)/4 - 1/2 = (x-1)/4 - 2/4 = (x - 3)/4 moedas.
O imediato ao abrir o baú, encontrou as (x
- 3)/4 moedas restantes. Ficou com uma moeda
para si e distribuiu a metade para cada um dos marinheiros, ou seja, cada
marinheiro recebeu (1/2)[(x - 3)/4 - 1] moedas =
= (x - 3)/8 - 1/2 = (x - 3)/8 - 4/8 = (x-7)/8 moedas.
Portanto,
O primeiro marinheiro que já tinha pegado (x-1)/2
moedas, recebeu mais
(x - 7)/8 moedas.
Portanto, o primeiro marinheiro recebeu no total (x - 1)/2 + (x - 7)/8 moedas.
Desenvolvendo e simplificando, vem:
4(x - 1)/8 + (x - 7)/8 = (4x - 4)/8 + (x - 7)/8 = (5x - 11)/8
O segundo marinheiro que já tinha pegado (x - 3)/4
moedas, recebeu mais
(x - 7)/8 moedas.
Portanto, o segundo marinheiro recebeu no total (x - 3)/4 + (x - 7)/8 moedas.
Desenvolvendo e simplificando, vem:
(x-3)/4 + (x-7)/8 = 2(x-3)/8 + (x-7)/8 = (2x - 6)/8 + (x
- 7)/8 =
= (3x - 13)/8
Já sabemos que a razão entre dois números A e B é igual a A/B com B ¹ 0.
Como foi dito no enunciado que a razão entre o número de moedas ganhas pelo primeiro marinheiro e pelo segundo marinheiro foi de 29/17, poderemos escrever:
Já sabemos que se A/B = C/D então A.D = B.C para B e D não nulos. Então, na igualdade acima poderemos escrever:
17(5x - 11) = 29(3x - 13)
85x - 187 = 87x - 377
85x - 87x = - 377 + 187
-2x = -190
x = (-190)/(-2) = 190/2 = 95
Portanto, o número de moedas de ouro no baú é igual a
95, o que nos leva à alternativa B.
Observe a divisão das moedas:
Inicialmente eram 95 moedas. Uma foi jogada ao mar e sobraram 94. O primeiro marinheiro pegou a metade (47) e sobraram 47 moedas. O segundo marinheiro jogou uma ao mar e restaram 46 moedas. Ele pegou a metade (23) e restaram 23. O imediato ficou com uma moeda e restaram 22, que foi dividida entre os dois marinheiros (11 para cada). Portanto, o primeiro marinheiro ficou com 47 + 11 = 58 moedas e o segundo ficou com 23 + 11 = 34 moedas. Então, 58 + 34 = 92.
Como duas moedas foram jogadas ao mar e uma ficou com o imediato, resulta então 92 + 3 = 95, que é o total inicial de moedas no baú.
Agora resolva este:
Há muito tempo, quando poucas pessoas eram versadas na
arte de contar, houve uma grande tempestade no oceano. Um navio colhido pelo
tufão, foi salvo graças ao trabalho excepcional de dois marinheiros. Terminada
a borrasca, o capitão, decidido a recompensar seus dois comandados pelo
serviço bem executado anunciou que dividiria entre eles no dia seguinte o
conteúdo de um pequeno baú com moedas de ouro, tendo encarregado o seu
imediato desta tarefa. Acontece que os dois marinheiros eram muito amigos e,
querendo evitar o constrangimento de uma partilha pública, um deles teve a
idéia, na madrugada, de pegar a sua parte do prêmio. Indo ao baú, este
marinheiro separou as moedas em dois grupos idênticos e, para surpresa sua,
sobrou uma moeda. Não sabendo como proceder, jogou-a no mar para agradecer aos
deuses a sua sobrevivência e pegou a parte que lhe cabia. Porém, mais tarde, o
segundo marinheiro teve a mesma idéia. Indo ao baú, ele separou as moedas em
dois grupos iguais e, para sua surpresa, sobrou uma moeda. Jogou-a ao mar como
agradecimento pela sorte e tomou a parte que lhe cabia da recompensa. Pela
manhã, os dois marinheiros se sentiram constrangidos em comunicar o
procedimento noturno. Assim, o imediato separou as moedas do baú em dois grupos
e verificou que sobrava uma. Deu a cada um dos marinheiros a sua parte do
prêmio e tomou para si a moeda restante como pagamento pelos seus cálculos.
Sabendo-se que a razão entre as moedas ganhas pelo primeiro marinheiro e pelo
segundo marinheiro foi de 29/17, então o percentual de moedas que coube ao
segundo marinheiro foi igual aproximadamente a:
A) 19%
B) 29%
C) 36%
D) 39%
E) 50%
Resposta: alternativa C. (34/95 @
0,36 = 0,36x100% = 36%).
Nota: a distribuição percentual das moedas de ouro foi então:
aproximadamente 36% para o segundo marinheiro, aproximadamente 61% para o
primeiro, aproximadamente 2% foram lançadas ao mar e aproximadamente 1% ficou
com o imediato do capitão do navio.
Paulo Marques,
Feira de Santana - BA - 14 de dezembro de 2003