Alguns problemas da UEFS 2004 e suas soluções

1 – UEFS 2004-1) Um pacote de papel usado para impressão contém 500 folhas no formato 210 mm por 300 mm, em que cada folha pesa 80 g/m². Nessas condições, o peso desse pacote é igual, em kg, a:

a) 0,50
b) 0,78
c) 1,36
d) 1,80
e) 2,52

Solução:

Como 1 cm = 10 mm, temos que 1 mm = 1/10 cm = 0,10 cm.

Então, 210 mm = 210/10 = 21 cm e 300 mm = 300/10 = 30 cm

A área de cada folha de papel então, será igual a
S = 21 cm x 30 cm = 630 cm² .

Como a gramatura (ou gramagem) do papel é igual a 80 g/m² (80 gramas por metro quadrado), precisamos inicialmente transformá-la para g/cm² (gramas por centímetro quadrado).
Como 1m² = 1m x 1m = 100 cm x 100 cm = 10000 cm² , vem imediatamente que:
80 g/m² = 80g / 10000 cm² = (80 / 10000) g/cm² = (8/1000) g/cm².

É claro então, que o peso do pacote de papel em gramas (g) será igual a:
P = 500 x 630 cm² x (8/1000) g/cm²
Efetuando as contas obteremos P = 2520 g

Como 1 kg = 1000 g, vem imediatamente que o peso em kg é igual a P = 2520/1000 = 2,52 ,o que nos leva à alternativa E.

Nota: UEFS – Universidade Estadual de Feira de Santana

2 – UEFS 2004-1) A quantidade de cafeína presente no organismo de uma pessoa decresce a cada hora, segundo um progressão geométrica de razão 1/8. Sendo assim, o tempo t para que a cafeína presente no organismo caia de 128 mg para 1 mg é tal que

a)0 < t < 1
b)1 < t < 2
c)2 < t < 4
d)4 < t < 6
e)6 < t < 8

Solução:

Seja a_i a quantidade de cafeína presente no organismo no tempo t = i.
Temos então a₁ = 128 mg (primeiro termo de uma
PG – Progressão Geométrica decrescente de razão q = 1/8, conforme enunciado da questão.

Usando a definição de PG, lembrando que cada termo a partir do segundo é igual ao anterior multiplicado pela razão q = 1/8, vem:

No instante inicial t = 0, temos a₁ = 128 mg
No instante t = 1h, teremos:
a₂ = a₁.q = 128.(1/8) = 128/8 = 16 mg
No instante t = 2h, teremos:
a₃ = a₂.q = 16.(1/8) = 2 mg
No instante t = 3h, teremos:
a₄ = a₃.q = 2.(1/8) = 2/8 = 1/4 = 0,25mg

Temos então a PG: (128; 16; 2; 0,25; ...)
Observe que de t = 2h para t = 3h, a cafeína decresce de 2mg para 0,25mg, passando portanto pelo valor 1mg.
Como o problema quer saber o tempo t no qual a presença de cafeína no organismo seja igual a 1mg, é claro que este tempo t será um número entre 2 e 3, ou seja, 2 < t < 3.

Das alternativas apresentadas, a única que atende à condição
2 < t < 3 é a alternativa C.

3 – UEFS 2004 – 1) Os gráficos das curvas f(x) = 2.8^x e
g(x) = 1/16^x , x Î R, se interceptam em um ponto que pertence ao

a)eixo Oy
b)1º quadrante
c)2º quadrante
d)3º quadrante
e)4º quadrante

Solução:

Observe que na interseção das curvas, teremos f(x) = g(x) ou seja: 2.8^x = 1/16^x
Resolvendo esta equação exponencial simples, vem:
2.(2³)^x = 16^-x \ 2¹ . 2^3x = (2⁴)^-x \ 2 ^{1 + 3x} = 2 ^{– 4x} \
1 + 3x = - 4x \1 = - 7x \ x = - 1/7
Esta é a abcissa do ponto de interseção. Para achar a ordenada, basta substituir o valor de x em qualquer uma das funções.
Como f(x) = 2.8^x , teremos, por exemplo:
f(-1/7) = 2.8^-1/7 = 2.(2³)^-1/7 = 2¹ . 2^-3/7 = 2^{1 + (-3/7)} = 2^{1 – 3/7}= 2^4/7
Portanto, o ponto de interseção das duas curvas dadas será o ponto (-1/7, 2^4/7). Ora, como a abcissa é negativa e a ordenada é positiva, o ponto pertence ao 2º quadrante, o que nos leva à alternativa C.

4 – UEFS 2004-1) Se o número de diagonais de um polígono P , de n lados, é igual a 1/6 do número de diagonais do polígono de 2n lados, então o polígono P é um
a) triângulo b) hexágono c) decágono d) pentágono
e) quadrilátero

Solução:

Sabemos que o número de diagonais de um polígono de n lados é dado pela fórmula:
N_d = n(n – 3) / 2
A fórmula acima é facilmente deduzida usando análise combinatória.
A dedução desta fórmula é simples, senão vejamos: Seja P um polígono de n lados e, por conseqüência, n vértices. Como as diagonais do polígono são os segmentos de reta que unem dois vértices não consecutivos do polígono, o número de diagonais será igual ao número de combinações destes n pontos tomados 2 a 2, subtraído do número de lados n, uma vez que os lados não são diagonais, ou seja:
N_d = C_n,2 – n = n! / (n – 2)!.2! – n
Então,
N_d = [n(n – 1) (n – 2)! / (n – 2)!.2.1] – n = n(n – 1)/2] – n = [(n² – n)/2] – n
Teremos, continuando:
N_d = [(n² – n)/2] – 2n/2 = (n² – 3n) / 2 = n(n – 3)/2. (c.q.d.)
Nota: c.q.d. = como queríamos demonstrar.

Retornando ao problema proposto:

Para um polígono de 2n lados, o número de diagonais será igual a:
N'_d = (2n) (2n – 3) / 2

Pelo enunciado da questão, N_d = (1/6).N'_d ou seja 6.N_d = N'_d.
Portanto, 6[n(n-3) / 2] = (2n) (2n – 3)/2

Desenvolvendo a igualdade acima, vem:

6[(n² – 3n)/2] = 4n² – 6n / 2

3(n² – 3n) = 2n² – 3n

3n² – 9n – 2n² + 3n = 0

n² – 6n = 0

Colocando n em evidencia, fica: n ( n – 6) = 0, de onde tiramos n = 0 ou n – 6 = 0. Como o valor n = 0 é estranho ao problema – já que estamos calculando o número de lados de um polígono e não existe polígono com 0 lados – vem que n – 6 = 0, de onde tiramos imediatamente que n = 6.
O polígono, portanto, possui 6 lados e é então, um hexágono, o que nos leva à alternativa B.

Glossário

glossário – dicionário de termos técnicos de uma arte ou ciência.
kg – símbolo do quilograma – unidade de massa.
g – símbolo de grama – a milésima parte do quilograma.
gramatura – peso em gramas de um determinado papel, por unidade de área.
cafeína – substância existente no café.
mg – símbolo do miligrama – milésima parte de uma grama.
polígono – figura plana de n lados, com n > 2.
diagonal – segmento que une dois vértices não consecutivos de um polígono.
equação exponencial – equação na qual a incógnita aparece no expoente.

Paulo Marques – 13 de março de 2004 – Feira de Santana – BA.

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