Uma introdução às equações diofantinas do primeiro grau a duas variáveis

 1  Chama-se equação diofantina do primeiro grau a duas variáveis, a toda equação da forma 
ax + by = c, onde x e y são variáveis inteiras e a, b e c são números inteiros. Vemos, pois, que numa equação diofantina, tanto as variáveis como os coeficientes são números inteiros.
Nota: a designação equação diofantina, é uma singela homenagem dos matemáticos a Diofante de Alexandria - grego do século III D.C. Muito pouco se sabe sobre a vida do matemático Diofante, que deve ter vivido apenas 84 anos, segundo interpretações dos livros de História da Matemática.

O par ordenado de números inteiros (x₀ , y₀) é solução da equação ax + by = c se e somente se a.x₀ + b.y₀ = c.
Exemplo: o par ordenado (2, 7) é uma das soluções da equação diofantina 3x + 5y = 41, pois 3.2 + 5.7 = 6 + 35 = 41.

Exercício: Sendo k Î Z, determine a equação diofantina que admite como soluções os pares ordenados (x, y) tais que x = 10 + 2k e y = 3k – 8

Solução: de x = 10 + 2k, tiramos x – 10 = 2k , de onde vem k = (x – 10) / 2.
De y = 3k – 8 vem y + 8 = 3k , de onde vem k = (y + 8) / 3.

Portanto, igualando os valores de k, fica: (x – 10) / 2 = (y + 8) / 3

Multiplicando ambos os membros por 6, para eliminar os denominadores, fica:
3(x – 10) = 2(y + 8)
Desenvolvendo a expressão acima, vem: 3x – 30 = 2y + 16 .
Então , 3x – 2y = 16 + 30 = 46. Portanto, a equação procurada é 3x – 2y = 46.

Olhando a questão de um modo inverso, podemos dizer que a equação diofantina
3x – 2y = 46, possui infinitas soluções dadas pelos pares ordenados (x, y) tais que
x = 10 + 2k e y = 3k – 8, onde k Î Z .

Portanto, atribuindo valores inteiros a k, obteremos as soluções da equação 3x – 2y = 46. 
Assim, por exemplo:
k = 0 Þ x = 10 e y = – 8, ou seja , o par (10, -8) é uma solução.
k = 1 Þ x = 12 e y = – 5, ou seja, o par (12, -5) é uma solução.
k = -1 Þ x = 8 e y = - 11, ou seja, o par (8, -11) é uma solução.
.....................................................................................................
k = 25 Þ x = 60 e y = 67, ou seja, o par (60, 67) é uma solução e assim sucessivamente.
Observe que como k Î Z e Z é um conjunto infinito, realmente existirão infinitas soluções inteiras para a equação diofantina 3x – 2y = 46.

  2  Resolvendo equações diofantinas lineares de duas variáveis

Enunciaremos – sem demonstrar – dois teoremas básicos para a solução de equações diofantinas do primeiro grau a duas variáveis:

T 1 A equação diofantina ax + by = c terá soluções se e somente se o máximo divisor comum de a e b for um divisor de c., ou seja, mdc(a,b) divide c.

T 2  As soluções gerais da equação diofantina ax + by = c são dadas por:


onde k é um número inteiro e (x₀ , y₀) é uma solução particular de ax + by = c.

Nota: mdc(a,b) = máximo divisor comum de a e b

Seja por exemplo resolver a equação 2x + 6y = 8, onde a = 2, b = 6 e c = 8.

Solução: Neste primeiro exemplo, vemos imediatamente que x = 1 e y = 1 é uma solução pois, 2.1 + 6.1 = 8.

Sabemos também de T 1 acima, que a equação possui solução, pois mdc(2,6) = 2 e 2 divide o termo independente c = 8.

Considerando-se que a = 2, b = 6 e que mdc(2,6) = 2 vem, substituindo os valores conhecidos: 
a = 2, b = 6, mdc (a,b) = 2, x₀ = 1 e y₀ = 1, nas igualdades acima:

x = 1 – k . (6/2) = 1 – 3k
y = 1 + k . (2/2) = 1 + k onde k é um inteiro qualquer.

Atribuindo valores inteiros a k, iremos obtendo as soluções inteiras da equação 2x + 6y = 8. Vamos achar algumas soluções, usando a tabela abaixo:

k	x	y
0	1	1
1	-2	2
2	-5	3
3	-8	4
-1	4	0
-2	7	-1

Podemos então escrever o conjunto solução S da equação 2x + 6y = 8 na forma de pares ordenados (x,y) , ou seja:
S = {... , (7, -1), (4,0), (1,1), (-2,2), (-5,3), (-8,-4), ...}

Poderíamos também apresentar o conjunto solução S na forma geral:
S = {(x,y) | x = 1 – 3k e y = 1 + k, k Î Z}

 3  Nem sempre é tão fácil achar de imediato uma solução particular (x₀, y₀) como no exemplo acima. Vamos resolver a seguir, algumas equações diofantinas do tipo ax + by = c.

3.1 Seja resolver a equação diofantina 8x – 3y = 5

Solução: Mesmo que você esteja com preguiça de fazer contas, você haverá de concordar comigo que x = 1 e y = 1 é uma solução da equação proposta, pois 8.1 – 3.1 = 8 – 3 = 5.

Temos portanto o x₀ = 1 e o y₀ = 1 (solução particular).

Como mdc (8,3) = 1, vem imediatamente, aplicando as fórmulas de T 2 acima:

x = 1 – k . (-3) / 1 = 1 + 3k
y = 1 + k . 8/1 = 1 + 8k onde k é um número inteiro.

Portanto, x = 1 + 3k e y = 1 + 8k , com k inteiro, representa a solução geral da equação proposta. Assim, o conjunto solução S da equação proposta pode ser escrito como:
S = {(x , y) Î ZxZ; x = 1 + 3k Ù y = 1 + 8k, k Î Z}

Notas:

a) Z = conjunto dos números inteiros = { ... , -3, -2, -1, 0, 1, 2, 3, 4, 5, ...}
b) ZxZ = produto cartesiano de Z por Z
c) Ù = símbolo lógico para a conjunção aditiva e.
d) repare que como k Î Z, e Z é um conjunto infinito, as soluções
x = 1 + 3k Ù y = 1 + 8k, nos levarão a infinitas soluções para a equação diofantina proposta.

Determinemos algumas dessas soluções da equação 8x – 3y = 5, atribuindo valores inteiros a k:
Por exemplo, para k = -2, resulta :
x = 1 + 3(-2) = 1 – 6 = -5 e y = 1 + 8(-2) = - 15.
Logo, o par ordenado (-5, -15) é uma solução da equação proposta.
Com efeito, como a equação dada é 8x – 3y = 5, substituindo os valores de x e y, vem:
8(-5) – 3(- 15) = -40 + 45 = 5.
k = -1 Þ x = 1 + 3(-1) = -2 e y = 1 + 8(-1) = -7 \ o par ordenado (-2, -7) é outra solução.
k = 0 Þ x = 1 + 3.0 = 1 e y = 1 + 8.0 = 1 \ (1,1) é outra solução.
k = 1 Þ x = 1 + 3.1 = 4 e y = 1 + 8.1 = 9 \ (4,9) é outra solução.
k = 2 Þ x = 1 + 3.2 = 7 e y = 1 + 8.2 = 17 \ (7,17) é outra solução.
k = 3 Þ x = 1 + 3.3 = 10 e y = 1 + 8.3 = 25 \ (10, 25) é outra solução e assim sucessivamente. Poderemos escrever o conjunto solução da equação 8x – 3y = 5 também na forma:
S = { ... , (-5, -15), (-2, -7), (1, 1), (4,9), (7,17), (10, 25), ... }
Repare que nos pares ordenados (x, y) que compõem a solução da equação 8x – 3y = 5, os primeiros elementos x variam numa razão constante igual 3 , ou seja:
{ ..., -5, -2, 1, 4, 7, 10, ... } e os segundos elementos y variam numa razão constante igual a 8, ou seja: { ... , -15, -7, 1, 9, 17, 25, ... }

3.2 Resolver a equação diofantina  98 x – 199 y = 5

Solução: Inicialmente deveremos verificar se a equação dada possui solução. Usando T 1 acima, vemos que mdc (98,199) = 1 e 1 divide 5. Logo, a equação proposta possui solução.

Como neste caso, não é tão imediato assim achar uma solução particular (x₀, y₀) e usar as fórmulas gerais de resolução mostradas em T 2 acima, vamos tentar um caminho alternativo.

Ora, já sabemos que as equações diofantinas só envolvem números inteiros.

Poderemos escrever:
98x = 199y + 5
Aqui vamos usar um artifício: fazer 199y = 196y + 3y. Fica: 98x = 196y + 3y + 5
Dividindo ambos os membros por 98, vem: x = 2y + (3y + 5) / 98

Como x e y são inteiros, a segunda parcela (3y + 5) / 98 deverá ser também um número inteiro. Seja k Î Z este número. Poderemos escrever: (3y + 5) / 98 = k

Daí, 3y + 5 = 98k \ 3y = 98k – 5 \ y = (98k – 5) / 3

Fazendo k = 1 na expressão acima obteremos: y = (98.1 – 5) / 3 = 93/3 = 31.
Substituindo o valor de y na equação dada, obteremos x :

98x – 199.31 = 5 \ 98x = 5 + 199.31 = 5 + 6169 = 6174 \ x = 6174/98 = 63.

Portanto, achamos uma solução particular da equação dada: x₀ = 63 e y₀ = 31.

Agora, vamos usar as fórmulas gerais vistas no item T 2 acima:

Temos: a = 98, b = -199, c = 5, x₀ = 63, y₀ = 31 e mdc (a,b) = 1.
Substituindo:

x = 63 – k . (-199/1) = 63 + 199k
y = 31 + k . (98/1) = 31 + 98k , onde k é um número inteiro.

Atribuindo valores a k, obteremos seguidamente os valores de x e y. Vejamos algumas soluções na tabela a seguir:

k	x	y
-2	-335	-165
-1	-136	-67
0	63	31
1	262	129
2	461	227

Portanto, o conjunto solução da equação dada poderá ser escrito como:
S = {... , (-335, -165), (-136, -67) , (63, 31), (262, 129), (461, 227) , ...}

Repare que nos pares ordenados (x, y) que compõem a solução da equação 98x – 199y = 5, os primeiros elementos x variam numa razão constante igual 199 , ou seja:
{ ..., -335, -136, 63, 262, 461, ... } e os segundos elementos y variam numa razão constante igual a 98, ou seja: { ... , -165, -67, 31, 129, 227, ... }

Poderíamos também apresentar o conjunto solução S na forma geral:

S = {(x,y) | x = 63 + 199k e y = 31 + 98k, k Î Z}

Agora resolva este desafio enviado por Hélio Fragoso – um ilustre visitante do site.

O seguinte problema (adaptado para o nossa moeda) está no livro "536 Curious Problems & Puzzles", de Henry Dudeney, famoso criador de quebra-cabeças no século XIX.

Uma pessoa foi ao banco para descontar um cheque no valor de x reais e y centavos.
O caixa do banco errou na leitura do valor do cheque e pagou y reais e x centavos. A pessoa guardou o dinheiro no bolso sem verificar a quantia. No caminho de casa, ela gastou cinco centavos e quando chegou em casa verificou que tinha exatamente o dobro do valor do cheque. Sabendo-se que essa pessoa não levou dinheiro nenhum consigo quando foi ao banco, pergunta-se qual era o valor do cheque.

Dicas para a solução:

a) 1 real = 100 centavos, logo, x reais = 100x centavos.
Analogamente, y reais = 100y centavos.

b) o cheque de x reais e y centavos vale, pois, 100x + y centavos.

c) o valor pago pelo caixa, de y reais e x centavos vale, então, 100y + x centavos.

d) como a pessoa gastou 5 centavos e ao chegar em casa constatou possuir o dobro do valor do cheque, é lícito escrever: (100y + x) – 5 = 2(100x + y)

e) Simplificando essa igualdade, você obterá 98x – 199x = 5 , que é exatamente a equação diofantina resolvida no item 3.2 acima. Como a solução com dois dígitos decimais é x = 31 e 
y = 63, é trivial concluir que o valor do cheque é R$31,63.

Verificação:

Valor do cheque = 31,63
O caixa pagou 63,31
Tirando os cinco centavos: 63,31 – 0,05 = 63,26 = 2 . 31,63
Lembre-se que 5 centavos = R$0,05

Arquivos correlatos:
Gastando 1000 dólares 
Uma singela homenagem a 2003
 
Paulo Marques  –  Feira de Santana  – BA   , 22 de abril de 2004, 504º  aniversário do    descobrimento do Brasil por Pedro Álvares Cabral, segundo os livros de História. Arquivo revisado em 10/08/2006

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