Comprando gado no Mato Grosso do Sul (em Campo Grande)

Preciso comprar 100 cabeças de gado (entre bois, vacas e bezerros) gastando $ 100. Sabendo-se que cada bezerro custa $ 0,50 , cada vaca custa $ 5 e cada boi custa $10, quantas cabeças de cada posso comprar?

Solução:

Nota: este problema foi enviado para solução pelo visitante do site – Romildo José Dias, de
Campo Grande – Mato Grosso do Sul - MS. O preço desses bois está muito baixo, mas vamos lá!

Sejam x bezerros, y vacas e z bois as quantidades procuradas. Considerando-se os preços unitários indicados, poderemos escrever:
x + y + z = 100
0,50 x + 5 y + 10 z = 100

Multiplicando ambos os membros da segunda equação por 2 (o que não altera a igualdade), fica:
2(0,50 x + 5 y + 10 z ) = 2.100 ou seja: 1 x + 10 y + 20 z = 200.
Então, o sistema de equações acima pode ser reescrito como:
x + y + z = 100 (equação I)
x + 10y + 20z = 200 (equação II)
Observe que x , y e z , são necessariamente números inteiros positivos, pois se referem a quantidades de bezerros, vacas e bois, respectivamente.
Subtraindo membro a membro a equação I da equação II, ou seja, efetuando a subtração
(equação II) – (equação I) vem:
(x + 10y + 20z ) – (x + y + z) = 200 – 100
Simplificando, resulta:
9y + 19z = 100

Daí, vem que 9y = 100 – 19z ou seja: y = (100 – 19z) / 9

Seja z = b um inteiro que satisfaça ao problema.

Teremos então:
z = b
y = (100 – 19b) / 9

Substituindo esses valores na equação I (x + y + z = 100) , vem:
x + (100 – 19b) / 9 + b = 100
Multiplicando tudo por 9, para eliminar o denominador 9, fica:
9x + 100 – 19b + 9b = 900
9x + 100 – 10b = 900
9x = 900 – 100 + 10b
9x = 800 + 10b
De onde tiramos x = (800 + 10b) / 9

Portanto, a solução genérica do sistema de equações lineares do problema, será dada pelos ternos (x, y, z) onde:
x = (800 + 10b) / 9
y = (100 – 19b) / 9
z = b
sendo b um número inteiro.
Atribuindo-se valores inteiros a b, iremos obtendo as infinitas soluções reais do sistema linear visto acima. Por exemplo, fazendo b = 0, obteremos por simples substituição nas igualdades acima: x = 800/9, y = 100/9 e z = 0, ou seja, a terna ordenada (800/9, 100/9,0) é uma das infinitas soluções reais do sistema de equações lineares do problema.
Ocorre que , por estarmos tratando de bezerros, bois e vacas, só nos interessa as soluções inteiras positivas.
Repare que fazendo b = 1 na solução obtida acima, obteremos:
y = (100 – 19.1) / 9 = 81/9 = 9 e x = (800 + 10.1) / 9 = 810/9 = 90 e, portanto, o problema está resolvido, ou seja: pode-se comprar 90 bezerros, 9 vacas e 1 boi.
Agora resolva este:

De quantas formas distintas poderemos adquirir 100 aves, entre galinhas, codornas e patos, sabendo-se que os preços unitários de cada ave são $ 5, $ 2 e $ 10 respectivamente, se pretendemos gastar exatamente $ 500?
Resposta: Clique AQUI. Para voltar à esta página, clique em VOLTAR no seu navegador.

Paulo Marques – Feira de Santana – BA – 08/05/04, revisado e ampliado em 05/11/2006.