| Matemática não tem Idade III |
O problema a seguir, foi proposto na 2ª
fase do vestibular do segundo semestre da Universidade Federal do
Ceará, no ano de 1990.
Neste exercício, são necessários conhecimentos sobre:
Funções
Geometria plana
Progressões geométricas.
Seja f:(0,+µ ) ® R a função definida por
f(x) = 24 /
(3x).
Para cada inteiro positivo n, seja Tn um triangulo
isósceles cujo comprimento da base é igual a 1 cm e o
comprimento da altura igual a f(n – 1/2) cm. Se S é a
medida em cm2 da soma das áreas de todos os
triângulos Tn , determine Ö
3.S.
Solução:
Sendo a área de um
triangulo qualquer dada por A = B.H / 2 onde B é a medida da base e
H a altura, vem: A = 1.H / 2 = H / 2.
Portanto, numericamente, as áreas dos triângulos, serão iguais às metades das respectivas alturas.
Lembre-se que f(n) = 24 / (3n), conforme enunciado
do problema!
Observe que S1 = 24 / 2.31/2
, S2 = 24 / 2.33/2 , S3
= 24 / 2.35/2 , ... , estão em Progressão Geométrica . Verifica-se
isto, dividindo-se um termo pelo anterior, obtendo-se o valor constante que é a
razão q = 1 / 3.
As áreas Si onde i
= 1, 2, 3, 4, ... , n, ... , formam uma PG
decrescente ilimitada, de razão 3-1 = 1/3 e primeiro
termo igual a
24 / 2.31/2.
Teremos então:
S1 + S2 + S3 + ... + Sn
+ ... = S = a1 / (1 - q ) = (24 / 2.31/2
) / (1 - 1/3)
= (24 / 2.31/2):(2/3)
Portanto, S = (24/2.31/2).(3/2) = 18/31/2
O problema pede o cálculo de Ö 3.S
Logo, Ö 3.S
= 31/2 .18 / 31/2 = 18
Resposta: 18
Paulo Marques, Feira de Santana - BA - revisado em 08/09/2001.