Matemática não tem Idade IV - ITA 1963

Qual a condição a que deve satisfazer m para que o número 1 esteja situado entre as raízes do  trinômio mx² – 2(m+1)x + m² ?

Solução:

Nota: para não deixar dúvidas quanto a interpretação do enunciado, cumpre-nos informar que a sentença "para que o número 1 esteja situado entre as raízes do trinômio" não quer dizer que 1 seja raiz; o que o problema quer é saber para quais valores de m o número 1 situa-se entre as raízes; faço esta ressalva pois já recebi e-mail questionando este aspecto.

Antes de resolver o problema proposto, vamos revisar a teoria necessária.

Seja a função do segundo grau y = ax² + bx + c, com a ¹ 0.
Consideremos D = b² – 4ac > 0, ou seja, a função possui duas raízes reais, as quais nomearemos como x₁ e x₂.
Temos dois casos a considerar:
1º caso: a > 0 : neste caso a função possui um valor MÍNIMO como já sabemos da teoria.
2º caso: a < 0 : neste caso a função possui um valor MÁXIMO, valendo aqui o comentário anterior.

Observe as figuras acima, onde p é um número real situado entre as raízes, como exige o problema, ou seja: x₁ < p < x₂.

Nota: As figuras acima foram feitas pelo meu filho Rafael Marques, 11. Um detalhe talvez irrelevante para vocês, mas, muito importante para mim! (ver nota no final do texto).

Observe que para a > 0, temos que f(p) < 0. Portanto: a.f(p) < 0.
Analogamente, para a < 0, temos que f(p) > 0. Portanto: a.f(p) < 0.
Nota: lembre-se que: mais(+) vezes menos (–) dá menos!

A nossa conclusão é então, a seguinte:
Para valores p Î R, situados entre as raízes do trinômio y = ax² + bx + c (ou função do segundo grau), o produto a . f(p) é sempre negativo, ou seja: a . f(p) < 0.  Isto vale para qualquer trinômio, ou função do 2º grau!

Voltemos ao problema proposto:

O trinômio dado, relembrando, é y = mx² – 2(m+1)x + m²
Portanto, a = m
Temos também, que p = 1 (dado do problema).

Daí, pela teoria revista, vem que:
a . f(p) < 0 e, portanto, m . f(1) < 0.
Mas, f(1) = m.1² – 2(m+1).1 + m² = m –2m –2 + m² = m² – m – 2

Então, fica:
m(m² – m – 2 ) < 0

Fatorando o primeiro membro da desigualdade acima, teremos:
m(m – 2 )(m + 1) < 0 (Observe que 2 e –1 são as raízes do trinômio m² – m – 2).
Teremos então que resolver a inequação m(m – 2 )(m +1) < 0.

Considerando que os valores que anulam os fatores do primeiro membro da inequação 
são m = 0, m = 2 ou m = -1 , vamos construir a tabela abaixo:

Podemos concluir então, que o produto m(m – 2)(m + 1) é negativo para:
m < - 1 ou 0 < m < 2 , que é a resposta do problema.

Resposta: m < - 1 ou 0 < m < 2

Paulo Marques - Feira de Santana - BA - 07 de setembro de 1997. Editado em 06/02/2009. 
Nota: Hoje, Rafael já tem 22 e é estudante de Engenharia Elétrica. Nossa como o tempo passa! Naturalmente que o tempo passa de modo igual para todos, a não ser para aqueles que insistem em viajar à velocidade da luz!

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