Vestibulares do Brasil I

UFGO 1984 - Se a curva da figura representa o gráfico da função y = log x, onde x é um número positivo, calcule o valor da área hachurada.

SOLUÇÃO:

Como a função é y = log x, teremos, da simples observação do gráfico acima:
x = 2
Þ y = log 2
x = 3
Þ y = log 3
Observe que o primeiro retângulo possui medida da base igual a 3 - 2 = 1 e altura igual a log 2. Analogamente, o segundo retângulo possui a medida da base igual a
4 - 3 = 1 e altura igual a log 3.
Como a área de um retângulo é igual ao produto da base pela altura, teremos, para os dois retângulos:
S = (1 . log 2) + (1 . log 3) = log 2 + log 3
Portanto, S = log 2 + log 3
Ora, sabemos que o logaritmo de um produto, é igual à soma dos logaritmos, isto é:
log (A . B) = log A + log B
Portanto,
log A + log B = log ( A . B)
Logo,
log 2 + log 3 = log (2 . 3) = log 6
Então, a resposta procurada será S = log 6

Para revisar LOGARITMOS, clique AQUI. Para retornar, clique em VOLTAR no seu browser.

 

UNESP 2000 - Duas plantas de mesma espécie, A e B , que nasceram no mesmo dia, foram tratadas desde o início, com adubos diferentes. Um botânico mediu todos os dias o crescimento, em centímetros, destas plantas. Após 10 dias de observação, ele notou que o gráfico que representa o crescimento da planta A é uma reta passando por (2, 3) e o que representa o crescimento da planta B pode ser descrito pela lei matemática


Um esboço desses gráficos está apresentado na figura

Determine:
a) a equação da reta
b) o dia em que as plantas A e B atingiram a mesma altura e qual foi essa altura.

SOLUÇÃO:

a) a reta passa pelos pontos (0, 0) e (2, 3).
Ora, uma reta que passa pela origem, tem equação do tipo y = m . x, onde m é o coeficiente angular da reta.
Podemos escrever para o ponto (2, 3) : 3 = m . 2
\ m = 3 / 2
Logo, a equação da reta procurada será: y = m . x = (3 / 2) . x
Então, y = (3 / 2) . x
\ 2y = 3x ou 3x - 2y = 0, que é a equação da reta procurada.

b) As plantas A e B atingirão a mesma altura no ponto de interseção das duas curvas indicadas. Como as equações são conhecidas, igualando os valores de y nas duas equações, vem:

Como x2 - 6x = 0, vem: x ( x - 6) = 0 \ x = 0 OU x = 6.
Como x representa o número de dias, teremos que as plantas atingirão a mesma altura no sexto dia.
A altura de ambas as plantas será então y = (3 / 2) . x = (3 / 2) . 6 = 9
Logo, as plantas terão a mesma altura no 6º dia e essa altura será igual a 9 cm.

 

UFBA 1996 - Numa progressão geométrica, o primeiro termo é igual a 7500, e o quarto termo é igual a 20% do terceiro. Determine o quinto termo da progressão.

SOLUÇÃO:

Pelo enunciado do problema, podemos escrever a seguinte PG:
:: 7500 ; a2 ; a3 ; 0,20. a3 ; a5 ; ... , na qual o quarto termo é igual a 20% = 0,20 do terceiro termo, ou seja:
a4 = 0,20 . a3
\ a4 / a3 = 0,20.
Como sabemos que a razão de uma PG é igual ao quociente da divisão entre um termo e o outro imediatamente anterior, podemos concluir que a razão dessa PG será igual a 0,20 - resultado do quociente da divisão do quarto pelo terceiro termo.
Para calcular o quinto termo, basta usar a fórmula do termo geral de uma PG:
a5 = a1 . q n - 1 = 7500 . (0,20) 5 - 1 = 7500 . (1 / 5)4 = 7500 / 54
Portanto, teremos:
a5 = (75 . 100) / 54 = (3 . 52 . 100) / 54 = (3 . 100) / 52 = 300 / 25 = 60 / 5 = 12
Portanto, o quinto termo da PG é igual a 12.

Para revisar PROGRESSÃO GEOMÉTRICA, clique AQUI. Para retornar, clique em VOLTAR no seu browser.

 

UCSal 1996 - Dividindo o polinômio f = -2x3 + 4x2 + k x + t, onde k, t Î R, por x + 1, obtém-se resto 12. Se f é divisível por x - 2 , então k + t é igual a:

SOLUÇÃO:

Na divisão de um polinômio P(x) por x - a , o resto da divisão é igual a P(a).
Observe que x + 1 = x - (- 1)
Logo, podemos escrever, considerando o polinômio f dado:
12 = f (- 1) = -2(-1)3 + 4(-1)2 + (-1).k + t
12 = 2 + 4 - k + t
12 - 2 - 4 = t - k
t - k = 6 (igualdade 1)

Como f é divisível por x - 2 , pelo mesmo raciocínio anterior, teremos, considerando que neste caso, o resto é igual a zero, já que f é divisível por x - 2 :
f (2) = 0
\ -2(23) + 4(22) + k . 2 + t = 0
-16 + 16 + 2k + t = 0
2k + t = 0
\ t = - 2k (igualdade 2)
Substituindo na igualdade 1 acima, o valor de t , vem:
-2k - k = 6
\ -3k = 6 \ k = - 2.
Em conseqüência, vem imediatamente que t = -2k = (-2) . (-2) = 4
Portanto, a soma k + t = -2 + 4 = 2

Para revisar POLINÔMIOS, clique AQUI. Para retornar, clique em VOLTAR no seu browser.

 

UFRN 1996 - Determine o valor de k na equação 2.22.23. ... . 2400 = 2k

SOLUÇÃO:

Considerando-se o produto de potências de mesma base do primeiro membro da igualdade dada, poderemos escrever:
2 (1+2+3+ ... + 400) = 2 k
Portanto, 1 + 2 + 3 + ... + 400 = k
Para determinar o valor de k, basta calcular a soma dos termos da progressão aritmética do primeiro membro, a qual possui primeiro termo igual 1, último termo igual a 400 e número de termos igual a 400.
Logo,

UFRN 1996 - Quantos números de telefones com prefixo 231 existem em Natal, com todos os dígitos distintos e o último dígito igual ao dobro do penúltimo? Considere que os telefones de Natal tem números com 7 dígitos.

SOLUÇÃO:

Os números de telefones são do tipo 2 3 1 X Y Z W
Com a condição de que W = 2Z (o último dígito igual ao dobro do penúltimo), conforme enunciado do problema.
O enunciado do problema diz também que todos os dígitos são distintos, portanto, para as posições desconhecidas, não poderemos utilizar os números 1, 2 ou 3, que já constam no prefixo.
Observe que sendo W = 2Z, e como os números dos telefones possuem 7 dígitos, o dígito W será um número com 1 algarismo apenas ; isto elimina a possibilidade de termos Z = 5, 6, 7, 8 ou 9, pois neste caso, o dobro não teria apenas um algarismo.
Além disto, Z não poderá ser igual a 1, 2 ou 3, senão teríamos dígitos repetidos, o que não é permitido.
Restam então para Z os valores 0 ou 4.
0 (zero) não é possível, pois o dobro seria zero e, haveria repetição, o que não é permitido pelo enunciado da questão. Resta então a única alternativa possível para Z que é 4. Ou seja, Z = 4, o que implica que W sendo o dobro de Z, será igual a 8.
Temos então: Z = 4 e W = 8.
Os números dos telefones, serão então, da forma:
2 3 1 X Y 4 8

Como não podemos ter dígitos repetidos, os dígitos X e Y somente poderão ser escolhidos entre 0, 5, 6, 7 ou 9, num total de 5 valores possíveis.
Portanto:
Para X, existem cinco possibilidades de escolha.
Para Y, como não pode existir repetições, restam quatro possibilidades de escolha.
Logo, pela regra do produto, o número total de possibilidades de escolha será igual a 4x5 = 20 possibilidades.
Portanto, existem 20 números de telefones possíveis, nas condições especificadas, na cidade de Natal/RN.

Para revisar ANÁLISE COMBINATÓRIA, clique AQUI. Para retornar, clique em VOLTAR no seu browser.

 

UNIFOR 1995 - As raízes da equação x3 + 3x2 + k x - 8 = 0 onde k Î R, formam uma progressão aritmética. Determine o valor de k.

SOLUÇÃO:

Sendo r a razão da PA, poderemos dizer que as raízes serão x - r , x e x + r .
A soma das raízes será então: S = (x - r) + x + (x + r) = 3x
Pelas Relações de Girard, poderemos escrever:
S = 3x = - 3/1
\ x = -1.
Logo, as raízes da equação dada serão:
x1 = - 1 - r = - (1 + r)
x2 = - 1
x3 = - 1 + r = r - 1
Ainda pelas Relações de Girard, o produto P das raízes será igual a:
P = x1 . x2 . x3 = -(- 8 / 1) = 8 = [-(r + 1)] (- 1) (r - 1) = (r + 1)(r - 1) = 8
(r + 1) (r - 1) = 8
r2 - 1 = 8
r2 = 9
Daí, vem : r = 3 ou r = -3.

Portanto, como as raízes são:
x1 = - 1 - r = - (1 + r)
x2 = - 1
x3 = - 1 + r = r - 1
Teremos:
x1 = - (1 + 3 ) = - 4 OU x1 = - [1 + (- 3)] = 2
x2 = - 1
x3 = 3 - 1 = 2 OU x3 = -3 -1 = - 4
Portanto, as soluções da equação dada são - 4, -1 e 2.
Ainda pelas Relações de Girard, podemos escrever para o produto das raízes tomadas 2 a 2:
(-4)(-1) + (-4).(2) + (-1)(2) = k / 1 = k = 4 - 8 - 2 = 4 - 10 = - 6
Portanto, k = - 6 , é a resposta procurada.

Para revisar EQUAÇÕES ALGÉBRICAS, clique AQUI. Para retornar, clique em retornar no seu browser.

 

UNESP 2000 - Numa cidade com 30000 domicílios, 10000 domicílios recebem regularmente o jornal da loja de eletrodomésticos X, 8000 recebem regularmente o jornal do supermercado Y e metade do número de domicílios não recebe nenhum dos dois jornais. Determine:
a) o número de domicílios que recebem os dois jornais.
b) A probabilidade de um domicílio da cidade, escolhido ao acaso, receber o jornal da loja de eletrodoméstico X e não receber o jornal do supermercado Y.

SOLUÇÃO:

a) Veja a figura abaixo:

Seja n o número de pessoas que recebem os dois jornais:
Teremos: 10000 - n + n + 8000 - n + 15000= 30000
Logo, 33000 - n = 30000
\ n = 3000.
Portanto, 3000 domicílios recebem os dois jornais.

b)nas condições do enunciado, existem 10000 - n = 10000 - 3000 = 7000
Como o conjunto universo possui 30000 domicílios, a probabilidade solicitada será igual a
p = 7000 / 30000 = 7/30
Portanto, a resposta do item (b) é igual a 7/30, ou aproximadamente igual a 0,2333 ou 23,33%.

Paulo Marques, Feira de Santana - 24 de dezembro de 1999 - ampliado em 04/01/2007.


VOLTAR