Matemática do Científico e do Vestibular

Um somatório de binomiais

Determine a expressão simplificada do desenvolvimento do somatório a seguir:

Solução:
Sabemos da fórmula do desenvolvimento de um Binômio de Newton do tipo (a + b )n , que:

(a + b)n  = Cn,0 . an + Cn,1.a n-1.b + Cn,2.a n-2.b2 + Cn,3.a n-3.b3 + ...
+  Cn,k.xn-k + ... +  Cn,n.bn

 No caso particular de  a = x  e  b = 1, poderemos escrever, substituindo os valores:

(x + 1)n  = Cn,0 . xn + Cn,1.x n-1 + Cn,2.x n-2 + Cn,3.x n-3 + ...
+ Cn,k.xn-k + ... + Cn,n-1.x + Cn,n

 Poderemos escrever a relação acima, de “trás p’ra frente” , como:

(x + 1)n = Cn,n + Cn,n-1.x + Cn,n-2.x2 + Cn,n-3.x3 + ... + Cn,n-n.xn

Sabemos da Análise Combinatória que:

Cn,k = Cn,n-k   (Propriedade dos Números Binomiais complementares)

Portanto, teremos:
Cn,n-1 = Cn,1
Cn,n-2 = Cn,2
Cn,n-3 = Cn,3
.................
e, assim sucessivamente.

Substituindo na igualdade acima, vem que:  

(x + 1)n = Cn,0 + Cn,1.x + Cn,2.x2 + Cn,3.x3 + ... + Cn,n.xn 

Temos então, em resumo,  as duas igualdades abaixo, apenas reescritas, para facilitar o acompanhamento:

(x + 1)n  = Cn,0 . xn + Cn,1.x n-1 + Cn,2.x n-2 + Cn,3.x n-3 + ... + Cn,k.xn-k + ... + Cn,n-1.x + Cn,n

(x + 1)n = Cn,0.x0 + Cn,1.x1 + Cn,2.x2 + Cn,3.x3 + ... + Cn,n.xn

Considerando que  xn . x0 = xn-1.x1 = xn-2.x2 = ... = xn , concluímos que se multiplicarmos as duas expressões acima, membro a membro, obteremos para o coeficiente de xn, no segundo membro, a soma:
(Cn,0)2 + (Cn.1)2 + (Cn,2)2 + (Cn,3)2 + ... + (Cn,n)2

Para o produto dos primeiros membros, obteremos evidentemente:
(x + 1)n . (x + 1)n = (x + 1)2n

O problema agora é determinar o coeficiente de xn , no desenvolvimento do Binômio de Newton   (x + 1)2n .

Ora, sabemos que o termo geral do desenvolvimento de um binômio (a + b)m é dado por:

Como no nosso caso  m = 2n , a = x  e  b = 1,  vem:

 

Para obter xn na igualdade acima, deveremos ter  2n – p = n  \ p = n.
Fazendo então p = n na igualdade acima, obteremos:

Observe que 1p = 1n = 1.

Das inferências ou deduções acima, concluímos inevitavelmente que:


Ora companheiros estudantes. Se vocês conseguiram entender o desenvolvimento do exercício,  até aqui, o resto é fácil, senão vejamos:

O problema pediu para determinar o somatório e, portanto, vem finalmente que: 


Nota: O símbolo de somatório

Considere a seqüência <an> = (a1, a2, a3, a4, ... , an , ...)
A soma dos n primeiros termos da seqüência acima, seria expressa por:
Sn = a1 + a2 + a3 + a4 + ... + an

A soma acima, pode ser reescrita de uma forma mais compacta e bastante útil, utilizando a notação de somatório, conforme indicado abaixo:

Onde S é a letra grega sigma (maiúscula) e o símbolo acima deve ser lido como: somatório de todos os ai com i variando de 1 a n.

Os valores de i são denominados limites inferior e superior do somatório. No presente caso, o limite inferior é 1 e o limite superior é n.

Assunto para revisão:
Binômio de Newton

Paulo Marques - Feira de Santana - BA - 18 de Setembro de 2000 - atualizado em 16/01/2005.  

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