Matemática não tem idade VI - Uma desigualdade superinteressante

ITA 1951 – Calcular o menor valor de n para o qual se tem

Dado: log2 = 0,3010

Solução: este problema, que caiu no vestibular de 1951 do ITA - Instituto Tecnológico da Aeronáutica - é mais antigo do que eu mas, também ainda continua atual! he he he ... . Brincadeiras à parte, vamos resolvê-lo.

Podemos escrever a desigualdade acima na forma a seguir:



Observando cuidadosamente o denominador da expressão acima, percebemos que poderemos colocar o número 2 em evidencia, ficando:



Ora, cancelando os termos iguais no numerador e no denominador, e lembrando que o produto de 2 por ele mesmo, n vezes, é igual a 2ⁿ  ou seja: 
2.2.2. ... .2 = 2ⁿ  , a expressão acima fica igual a:



Aplicando logaritmo decimal a ambos os membros, vem:



Aplicando a propriedade de logaritmo de um quociente, fica:

log1 – log2ⁿ < log1 – log10⁴

Como log1 = 0, vem:
– log2ⁿ < – log10⁴

Multiplicando ambos os membros da desigualdade acima por (-1), a desigualdade muda de sentido e, portanto:

log2ⁿ > log10⁴

Aplicando a propriedade de logaritmo de potência, teremos:

n.log2 > 4.log10

Como log10 = 1, teremos finalmente:

n.log2 > 4

n > 4 / log2  onde    log2 = 0,3010.

Logo:

n > 4 / 0,3010 

Efetuando esta divisão, obteremos:

n > 13,2890

Ora, o maior inteiro imediatamente superior a 13,2980 é 14, sendo portanto n = 14 a resposta deste interessante problema.

Observe que o problema dado é satisfeito para n = 14, 15, 16, 17, ... , sendo 14 o menor valor de n procurado.

Resposta: n = 14

Paulo Marques – Feira de Santana – BA – 01/07/2001 - editado em 15 de maio de 2010.

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