Matemática não tem idade VII - Cinco círculos num quadrado

ITA – 1965) Dentro de um quadrado de lado a existem cinco círculos não superpostos de mesmo raio r.  O centro de um dos círculos coincide com o centro do quadrado e ele tangencia os outros quatro círculos cada um dos quais tangencia dois lados do quadrado (cada um está num canto do quadrado). Exprimir r em termos de a.

Solução:

A figura a seguir, reflete o enunciado da questão. 
Nota: a figura está parecendo um retângulo mas, acreditem, eu quis desenhar um quadrado! eh eh eh ... . 

 

 No triângulo retângulo PCO, temos: PC2 + PO2 = OC2 , pelo teorema de Pitágoras.

Vê-se que o triângulo PCO é isósceles, pois os lados PO e PC possuem a mesma medida, uma vez que o ângulo de vértice C mede 45º. Isto é verdadeiro, porque AC é uma diagonal do quadrado. Temos então: OP = r  e PC = r.

 r2 + r2 = x2
2.r2 = x2  
\ x = r.Ö2

Novamente pelo teorema de Pitágoras, poderemos escrever para o triângulo ADC:

AD2 + DC2 = AC2             

Observe que:

AD = a
DC = a
AC = 2x + 4r = 2. r.
Ö2 + 4r =
(2 Ö2 + 4).r

Substituindo e desenvolvendo, vem:

a2 + a2 = [(2 Ö2 + 4).r]2

2.a2 = [(2.Ö2 + 4).r]2

Extraindo a raiz quadrada de ambos os membros, fica:

Ö2.a = 2.Ö2 + 4).r

Daí, vem:

 

que é a resposta do problema proposto.

Observe que sendo 
Ö2 » 1,414, efetuando as contas chegaremos a:
r » 0,21 a  ou seja, o raio  r   vale aproximadamente 21% do comprimento do lado do quadrado.

Paulo Marques, Feira de Santana - BA, 03/11/2001 – editado em 09/10/2011.

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