O gordo e o magro

Numa certa população, 18% das pessoas são gordas, 30% dos homens são gordos e 10% das mulheres são gordas. A percentagem de homens na população é igual a:

a) 48% 
b) 40% 
c) 60% 
d) 65% 
e) 38%

Solução :

Sejam:

H = conjunto dos homens
M = conjunto das mulheres
G = conjunto das pessoas gordas
P = conjunto de todas as pessoas da população
H_g = conjunto dos homens gordos
M_g = conjunto das mulheres gordas

Podemos afirmar que H Ç M = f , ou seja, a interseção do conjunto dos homens com o conjunto das mulheres é o conjunto vazio, o que significa que o conjunto H Ç M não possui elementos, o que é o mesmo que dizer que H Ç M possui zero elementos.

Segundo a lógica do problema, um homem é gordo ou magro e uma mulher é gorda ou magra. Nestas condições, poderemos dizer que:
M U H = P ou seja, a união do conjunto dos homens com o conjunto das mulheres é igual ao conjunto P que representa a população.

Sejam:

x = número de homens que não são gordos
y = número de homens gordos
z = número de mulheres gordas
w = número de mulheres que não são gordas

É óbvio que:
x + y = número de homens
z + w = número de mulheres
(x + y) + (z + w) representa o total da população
y + z = número de pessoas gordas

De acordo com o enunciado da questão, poderemos escrever:

0,18(x + y + z + w) = y + z .......................equação 1
0,30(x + y) = y..........................................equação 2
0,10(z + w) = z..........................................equação 3

Vamos desenvolver as equações acima:

A) Equação 1

0,18x + 0,18y + 0,18z + 0,18w = y + z
0,18x + 0,18y + 0,18z + 0,18w – y – z = 0
0,18x + 0,18w + (0,18y – y) + (0,18z – z) = 0
0,18x + 0,18w – 0,82y – 0,82z = 0
0,18x + 0,18w = 0,82y + 0,82z
0,18(x + w) = 0,82(y + z) \
18(x + w) = 82(y + z) ou 9(x + w) = 41(y + z)
Então ,
9(x + w) = 41(y + z)

B) Equação 2
0,30(x + y) = y
0,30x + 0,30y = y
0,30x + 0,30 y – y = 0
0,30x – 0,70y = 0
Então,

0,30x = 0,70y \ 30x = 70y \
3x = 7y

C) Equação 3
0,10(z + w) = z
0,10z + 0,10w = z
0,10z + 0,10w – z = 0
0,10w + 0,10z – z = 0
0,10w – 0,90z = 0
Então,
0,10w = 0,90z \10w = 90 z \
w = 9z

Em resumo, temos agora as três equações:
9(x + w) = 41(y + z) \ 9x + 9w = 41y + 41z
3x = 7y \ 9x = 21y obtido da multiplicação dos dois membros da igualdade por 3.

w = 9z \ 9w = 81z obtido da multiplicação dos dois membros da igualdade por 9.

Substituindo os valores das duas igualdades acima, na primeira igualdade, vem:
21y + 81z = 41y + 41z \ 81z – 41z = 41y – 21y \ 40z = 20y \ y = 40z / 20 = 2z
Ou seja, y = 2z
O problema pede o percentual de homens na população, ou seja:

% de homens = %h = (n.º de homens / número total de pessoas).100
Ora, já sabemos que:
n.º de homens = x + y
n.º total de pessoas = x + y + z + w
Logo, o percentual procurado poderá ser calculado por:

% de homens = %h = [(x + y) . 100] / (x + y + z + w)
Observe que a multiplicação por 100 é para já obtermos o valor em percentagem

%h = [(x + y) . 100] / (x + y + z + w)

Como já vimos acima que 7y = 3x e que y = 2z, vem que 7(2z) = 3x \ 14z = 3x e, portanto,
x = 14z / 3.

Já sabemos também que w = 9z
Agora é fácil: basta substituir os valores e simplificar.

Teremos então:

%h = [(x + y) . 100] / (x + y + z + w) = [(14z/3 + 2z).100] / [(14z/3) + 2z + z + 9z]

Multiplicando numerador e denominador do segundo membro da igualdade acima por 3, vem claramente:

%h = [(14z + 6z).100 / [14z + 6z + 3z + 27z]
%h = (20z).100 / 50z = 2000z / 50z = 40

Logo, %h = 40, ou seja, o percentual de homens na população é igual a 40 %, o que nos leva tranqüilamente à alternativa B .

É claro que o percentual de mulheres na população é de 100% - 40% = 60%, ou seja, na comunidade em análise, o número de mulheres é maior do que o número de homens. As mulheres são maioria, mas observe que o número de homens gordos é o dobro do número de mulheres gordas. Deixo a verificação desta afirmativa para verificação de vocês. Isto está bastante claro no desenvolvimento da solução apresentada. Basta um pouco de atenção para perceber isto.

Verifique também como exercício, que, se a população aludida tivesse um total de
100.000 pessoas, teríamos a seguinte composição: 28.000 homens magros, 12.000 homens gordos, 6.000 mulheres gordas e 54.000 mulheres magras. Está tudo descrito no desenvolvimento da solução acima! É só observar com atenção!. Boa sorte na sua análise.

Nota: se você concluir (equivocadamente) pelo enunciado, que o número de homens gordos é o triplo do número de mulheres gordas, saiba que você estará totalmente enganado. É só uma questão de atenção.

Paulo Marques – Feira de Santana – BA – 27 de setembro de 2002 - editado em 15/03/2012.