Uma certa fila maluca

Dez pessoas estão numa fila de um banco. Em quantos anos estas pessoas conseguirão trocar de lugar de todos os modos possíveis, sabendo-se que cada troca de lugar consome em média 1 minuto ?

a) aproximadamente 10 anos
b) aproximadamente 9 anos
c) aproximadamente 8 anos
d) aproximadamente 7 anos
e) aproximadamente 6 anos

Solução:

O número total de possibilidades será igual ao número total de permutações simples de 10 elementos, ou seja, fatorial de 10:
P10 = 10 ! = 10.9.8.7.6.5.4.3.2.1 = 3 628 800

Como, segundo o enunciado do problema, cada troca de lugar consome 1 minuto , serão necessários 3 628 800 minutos para concluir a tarefa.

Sabemos que:
Um ano representa 365 dias.
Um dia representa 24 horas
Uma hora representa 60 minutos

Portanto, 1 ano = 365 . 24 . 60 = 525 600 minutos

Logo, o tempo total necessário em anos será igual a:

Dt = 3 628 800 / 525 600 = 6,90 anos, ou seja, aproximadamente 7 anos, o que nos leva tranqüilamente à alternativa D.

Repetindo o mesmo problema para 11 pessoas, encontraremos:

Dt = 39 916 800 / 525 600 = 75,94 anos ou seja, aproximadamente 76 anos.
Ou seja, muitas daquelas pessoas morreriam na fila!

Para 12 pessoas, faça as contas e verifique que seriam necessários aproximadamente 911 anos! Aí, já teriam morrido todas as pessoas.

Isto mostra que o fatorial de um número cresce muito rapidamente!

Visite os seguintes arquivos sobre o mesmo assunto:

Fatorial de 18

Análise Combinatória

Paulo Marques – Feira de Santana – BA – 12 de outubro de 2002 - revisado e ampliado em 03/09/2007. 


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