À vista ou a prazo? FUVEST, no quase remoto ano de 1994

FUVEST 1994 – 2ª fase 
Uma mercadoria cujo preço de tabela é R$ 8000,00 é vendida, à vista, com desconto de x % ou em duas parcelas iguais de R$ 4000,00, sendo a primeira no ato da compra e a segunda um mês após a compra. Suponha que o comprador dispõe do dinheiro necessário para pagar à vista e que ele sabe que a diferença entre o preço à vista e a primeira parcela pode ser aplicada no mercado financeiro a uma taxa de 25% ao mês. Nessas condições:
a) se x = 15 será vantajosa para ele a compra a prazo? Explique.
b) qual é o valor de x que torna indiferente comprar à vista ou a prazo? Explique.

Comentário pertinente: uma taxa de juro de 25% ao mês, é extremamente alta! Isto significa uma taxa de juros de 1355,19% ao ano!!! Não sabe ainda como chegar a este valor? Aprenda Matemática Financeira neste mesmo site, clicando  AQUI.  Para retornar  à esta página, clique em VOLTAR no seu navegador, após a visita.
Nota: li na Internet que o mouse (nosso velho amigo mouse, que já tem 50 anos em 2008!) será "aposentado" dentro de mais ou menos 5 anos! 
A Internet sem o mouse parece-me algo aterrorizador! Vamos aguardar a evolução tecnológica. Fazer o quê? Falei isto para um dos meus filhos e ele retrucou: meu pai: isto já está acontecendo! Eu, confesso que ainda não percebi.

Solução:

Já sabemos que x % = x/100.
Com o desconto de x %, o preço à vista será:
P_v = 8000 – x % de 8000 = 8000 – (x/100).8000 = 8000(1 – x/100)
A diferença entre o preço à vista e a primeira parcela será igual a:
D = 8000(1 – x/100) - 4000
Aplicando o valor acima no mercado financeiro a uma taxa de 25% ao mês, ao final de
1 mês, teremos o montante M = [8000(1 – x/100) – 4000].1,25
Para que a compra a prazo seja vantajosa, o montante M acima deverá ser superior aos R$4000,00 que falta pagar da segunda parcela. 
Portanto,

[8000(1 – x/100) – 4000].1,25 > 4000

Vamos resolver a inequação acima:
(8000 – 80x – 4000).1,25 > 4000
(4000 – 80x).1,25 > 4000
5000 – 100x > 4000
- 100x > 4000 - 5000
-100x > - 1000
Multiplicando ambos os membros da desigualdade acima por (-1), teremos:
100x < 1000
Observe que ao multiplicar ambos os membros de uma desigualdade por um número negativo, ela muda de sentido ( o > passa a ser <).
Daí, vem imediatamente que x < 1000/100 ou x < 10.

Portanto, para que a compra a prazo seja vantajosa, o percentual de desconto à vista terá de ser menor do que 10%. Com x = 15 % conforme enunciado do item (a), a compra a prazo neste caso, não é vantajosa. Neste caso, com um desconto de 15%, seria mais vantajoso para o comprador, adquirir a mercadoria à vista.
Para responder ao item (b) do problema, basta considerar que o rendimento da aplicação no mercado financeiro da diferença entre o preço à vista e a primeira parcela, seja igual aos R$4000,00 da segunda prestação, ou seja:
(8000 – 80x – 4000).1,25 = 4000
Resolvendo a equação acima, obteremos x = 10.
Ou seja, para um desconto de 10%, é indiferente se o comprador optar pela compra à vista ou a prazo.

Em resumo:
Considerando-se os dados do enunciado do problema:
Para um desconto inferior a 10%, é mais vantajoso comprar a prazo.

Para um desconto de 10%, tanto faz, como tanto fez. A prazo ou à vista, é a mesma coisa.
Para um desconto acima de 10%, é mais vantajoso comprar à vista.

Agora resolva este:
Uma mercadoria cujo preço de tabela é R$ 8000,00 é vendida, à vista, com desconto de x % ou em duas parcelas iguais de R$ 4000,00, sendo a primeira no ato da compra e a segunda um mês após a compra. Suponha que o comprador dispõe do dinheiro necessário para pagar à vista e que ele sabe que a diferença entre o preço à vista e a primeira parcela pode ser aplicada no mercado financeiro a uma taxa de 10% ao mês. Nessas condições:

a) se x = 4 será vantajosa para ele a compra a prazo?

b) qual é o valor de x que torna indiferente comprar à vista ou a prazo?
Resposta:
(a) SIM
(b) 4,55%

PAULO MARQUES – Feira de Santana – BA – 09/11/2002- atualizado em 24 de agosto 2008.

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