O Princípio da Indução

I – Introdução

Consultando um Dicionário você  encontrará a seguinte definição para Indução : ato ou efeito de induzir ; raciocínio em que de casos particulares se tira uma conclusão genérica .
O Princípio da Indução – PI , nos fornecerá um método seguro para comprovar propriedades envolvendo números naturais, obtidas pela observação de casos particulares.
Este tópico, infelizmente, não é abordado na maioria dos livros de Matemática do segundo grau, o que é uma pena, pois ele é uma ótima oportunidade de familiarizar o aluno desde o início, com as demonstrações de propriedades,  que geralmente são aceitas sem nenhum tipo de prova. A simples apresentação de fórmulas  aos alunos, sem demonstrar a sua origem, pode inclusive ser a responsável pela quase ojeriza e até aversão que muitos estudantes  tem em relação à Matemática.
Ainda que o Princípio de Indução se aplique tão somente às demonstrações de propriedades envolvendo números naturais, ainda assim é um bom comêço.

II – O Princípio da Indução

Seja N = {1 , 2 , 3 , 4 , 5 , ... , n , ... } o conjunto dos números naturais.
Seja P(n) uma determinada propriedade relativa aos números naturais.
O Princípio da Indução – PI – afirma que:

Se P(1) for verdadeira e o fato de P(n) ser verdadeira implicar em P(n + 1) também ser verdadeira então a propriedade P(n) é verdadeira para todo número natural n.

Em resumo e simbolicamente:
(a) P(1) é verdadeiro
(b) P(n) é verdadeiro Þ P(n + 1) é verdadeiro,

Ou simplificadamente P(n) Þ P(n + 1)

\ P é verdadeira para todo número natural.

P(1)  é conhecido como Condição Inicial .
P(n) é conhecido como Hipótese de Indução .

O PI – Princípio da Indução é uma poderosa ferramenta para a demonstração de propriedades relativas aos números naturais.

Vamos a seguir dar exemplos simples de uso do  Princípio da Indução :

1) Prove por indução que a soma dos n primeiros números naturais é dada por
S(n) = n (n+1) / 2

Temos: S(n) = 1 + 2 + 3 + 4 + 5 + ... + n = n (n + 1) / 2

(a) É óbvio que S(1) se verifica pois, S(1) = 1 (1 + 1) / 2 = 1

(b) Supondo que S(n) é verdadeira, vamos desenvolver S(n + 1) :

S(n + 1) = 1 + 2 + 3 + 4 + 5 + ... + n + (n + 1)
Usando a hipótese de indução, vamos substituir na expressão acima, o valor de S(n).
Teremos:
S(n + 1) =  n (n + 1) / 2 + (n + 1)
Desenvolvendo o segundo membro, fica:
S(n +1) = [n (n + 1) + 2(n + 1)] / 2  = [(n + 1) (n + 2)] / 2 = [(n+1) [(n+1) + 1] / 2
que é a mesma fórmula para (n+1).
Logo, S(n) = n (n+1) / 2 é verdadeira para todo n natural.

2) Prove por indução que a soma dos n primeiros números ímpares é dada por
S(n) = 1 + 3 + 5 + 7 + ... + (2n – 1) = n2

(a) S(1) = 12 = 1 é verdadeira.
(b) Partindo da veracidade de S(n) vamos obter S(n +1):
S(n+1) = 1 + 3 + 5 + 7 + (2n – 1) + [2(n+1) – 1]
Usando a hipótese de indução S(n) = n2 e substituindo na expressão acima fica:
S(n+1) = n2 + [2(n+1) – 1] = n2 + 2n + 2 – 1 = n2 + 2n + 1 = (n + 1)2
Ora, S(n+1) = (n + 1)2 é a mesma fórmula para (n + 1).
Logo, a fórmula dada é válida para todo n natural.

3) Prove por indução a seguinte igualdade válida em N.

S(n) = 1.2 + 2.3 + 3.4 + ... + n (n + 1) =  [n (n +1) (n + 2) / 3]

(a) S(1) é verdadeira pois S(1) =  [1 (1 +1) (1 + 2) / 3] = 2
Ora, se você calcular S(1) usando a expressão do primeiro membro também encontrará o resultado 2 pois
S(1) = 1.2 = 2.

(b) Vamos agora supor a veracidade de S(n) e concluir pela veracidade de S(n + 1).
Com efeito,
S(n+1) = 1.2 + 2.3 + 3.4 + n (n+1) + (n+1) (n+2)
Usando a hipótese de indução e substituindo o valor conhecido de S(n) vem:
S(n+1) =  [n (n +1) (n + 2) / 3] + (n+1) (n +2)
Desenvolvendo e simplificando a expressão acima fica:
S(n+1) = [n (n+1) (n+2) + 3(n+1) (n +2)] / 3
Colocando (n+2) em evidencia, fica:

S(n + 1) = [(n+2) [n (n + 1) + 3(n + 1)]] / 3
Colocando agora (n + 1) em evidencia, vem finalmente:
S(n+1) =  [(n+1) (n +2) (n +3) ] / 3  que é a mesma fórmula para (n +1). Logo, fica provada a veracidade da fórmula dada para todo n natural.


III –  Princípio da Indução Generalizado

O Princípio da Indução pode ser também enunciado de uma forma generalizada como segue:

 Se P(k) com k Î N , n Î N  e k < n , for verdadeira  e o fato de P(n) ser verdadeira implicar em P(n + 1) também ser verdadeira então a propriedade P(n) é verdadeira para todo número natural n.

Em resumo e simbolicamente:
(a) P(k) é verdadeiro
(b) P(n) é verdadeiro Þ P(n + 1) é verdadeiro
Ou simplificadamente,
P(n) Þ P(n + 1)
\ P é verdadeira para todo número natural maior ou igual a k.

P(k) é conhecido como Condição Inicial .
P(n) é conhecida como Hipótese de Indução .

Observe que a única diferença em relação ao parágrafo ( I ) acima é que  consideramos na condição inicial um valor k não necessariamente igual a 1 embora k possa assumir também este valor unitário.

Vamos a seguir dar exemplos simples de uso do  Princípio da Indução Generalizado:

1 – Prove por indução que 3n2 – n > 23  para todo n > 2.

(a) P(3) = 3.32 – 3 =  24 > 23 e portanto P(3) é verdadeira.

(b) Admitindo a validade de  3n2 – n > 23  para todo n > 2 (hipótese de indução) , vamos provar que ela é também válida para (n +1).
Com efeito,
3(n +1)2  (n + 1) = 3 (n2 + 2n + 1) – n – 1 = 3n2 + 6n + 3 – n – 1 = (3n2 – n ) + 6n + 2

Usando a hipótese de indução  3n2 – n > 23  para todo n > 2 e substituindo na expressão acima, vem:

3(n +1)2  (n + 1) =  (3n2 – n ) + 6n + 2 > 23 + 6n + 2 = 25 + 6n > 23

Logo a propriedade P(n) é válida para todo n > 2.

2 – Prove por indução que 2 n > n 2 para todo natural n > 4.

(a) P(5) é verdadeira pois 2 5 > 5 2 ou 32 > 25.

(b) Admitindo a validade  da hipótese de indução 2 n > n 2 para todo natural n > 4, vamos provar que ela também é válida para (n + 1).
Com efeito,
2 n + 1 = 2 n . 2 > n 2 . 2 > n 2
Adicionando  (1 + 2n) a ambos os membros da desigualdade, o que não altera o seu sentido, vem:
2n2 + (1 + 2n) > n2 + (1 + 2n)
Podemos então escrever:
n2 + n2 + 2n + 1 > n2 + 2n + 1
Observando que n2 + 2n + 1 = (n + 1)2, vem substituindo:
n2 + (n + 1)2 > (n + 1)2 = (n + 1)2
Portanto, P(n) Þ P(n + 1) e a propriedade está demonstrada, pois partimos de
P(n) : 2n > n2 e chegamos a P(n + 1) : 2n+1 > (n + 1)2 ou seja: P(n) Þ P(n +1).

IV – Considerações finais

O Princípio da Indução – PI  embora seja um instrumento poderoso para provar se uma determinada propriedade P entre números naturais é ou não verdadeira, ele entretanto não é capaz de fornecer ou deduzir uma propriedade se ela for desconhecida. Na maioria dos casos, a intuição e a observação de casos particulares pode levar ao estabelecimento de uma determinada fórmula ou propriedade entre números naturais, a qual deverá ser provada ou demonstrada. Aí é que entra o Princípio da Indução para  que  através da sua utilização, seja efetuada a demonstração da propriedade.

Outro aspecto muito importante a ser considerado é que  nem sempre uma propriedade válida para alguns valores da variável envolvida n é válida para todo número natural n. Um exemplo clássico é a expressão
n2 + n + 41 com n Î N , que representa números primos para n variando de 1 a 40. Já para n = 41 teríamos:
412 + 41 + 41 = 41(41 + 1 + 1) = 41.43 = 1763 que não é número primo pois é divisível por 1, 41, 43 e 1763.
Ou seja, a propriedade: [P(n) = n2 + n + 41 é um número primo com n Î N ], é válida para n = 1, 2, 3, 4, ... , 37, 38, 39 e 40 mas falha para n = 41, o que nos mostra claramente que admitir a veracidade de uma propriedade baseada apenas na  verificação de alguns casos particulares é uma temeridade.

Agora resolva estes:

1 -   Prove por indução que 4n2 – 3n > 2 para n > 1.

2 -  Prove por indução que 2 + 4 + 6 + 8 + ... + 2n = n (n +1) para todo n Î N.
Lembretes:
a) lembre-se que o número par que vem após 2n é 2n + 2.
b) observe que n2 + 3n + 2 = (n + 1) (n + 2)

Paulo Marques, Feira de Santana – BA – 09/01/2003.


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