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Número de divisores positivos de um número natural |
1
- Quantos são os divisores positivos de 120 ?
Os
divisores
positivos de um número natural n são todos os
números naturais p > 0 tais que n dividido
por p resulta num outro número natural m.
Diz-se então que p divide n e indica-se p | n
.
É claro que n = p.m
Exemplos:
os divisores positivos de 2 são 1 e 2.; os divisores positivos
de 3 são 1 e 3; os divisores positivos de 4 são 1, 2 e
4; os divisores positivos de 5 são 1 e 5; os divisores
positivos de 6 são 1, 2, 3 e 6; os divisores positivos de 7
são 1 e 7; os divisores positivos de 8 são 1,2.4 e 8;
os divisores positivos de 9 são 1,3 e 9; os divisores
positivos de 10 são 1, 2, 5 e 10; os divisores positivos de 11
são 1 e 11; os divisores positivos de 12 são 1, 2, 3,
4, 6 e 12, e assim sucessivamente.
Notas:
1 – quando um número natural só possui como
divisores, ele próprio e a unidade (1), ele é dito um
número primo. Assim, são números primos: 2, 3,
5, 7, 11, 13, 17, 19, 23, 29, 31, ... Existem infinitos números
primos e isto pode ser demonstrado. A primeira demonstração
deste fato singular deve-se a Euclides (matemático grego que
viveu no ano 300 DC).
2 – fatorar
um número natural significa escrevê-lo como um produto
de fatores primos com expoentes naturais.
Exemplo: 12 = 4.3 = 2 2
. 3 . Então 2 2 . 3 é a forma fatorada de
12.
Retornando ao problema proposto:
Os divisores positivos
de 120 serão: 1, 2, 3, 4, 5, 6, 8, 10, 12, 15, 20, 24, 30, 40,
60 e 120, num total de 16 divisores.
Vamos mostrar uma
forma de encontrar o número de divisores positivos de 120,
utilizando um raciocínio conhecido com Princípio
Fundamental da Contagem:
Fatorando o número 120,
teremos: 120 = 8 . 3 . 5 = 2 3 . 3 . 5 = 2 3
. 3 1 . 5 1
Observe que sendo
120 = 2 3 . 3 1 . 5 1 , é
claro que os divisores de 120 terão que necessariamente serem
números da forma
2 x . 3 y . 5 z
onde x = 0, 1, 2 ou 3; y = 0 ou 1 ; z = 0 ou 1.
Portanto,
existem 4 valores possíveis para x, 2 valores possíveis
para y e 2 valores possíveis para z. Pelo Princípio
Fundamental da Contagem, o número total de possibilidades
será então dada pelo produto 4.2.2 = 16. Portanto, 120 possui 16 divisores positivos.
2 – Determine o número
de divisores positivos de 1800.
Inicialmente devemos fatorar
o número 1800.
1800 = 2 3 . 3 2 . 5 2
Os divisores de 1800 serão então da forma 2 x
. 3 y . 5 z , onde x = 0, 1, 2 ou 3;
y = 0,
1 ou 2; z = 0, 1 ou 2. Existem então 4 valores possíveis
para x, 3 valores possíveis para y e 3 valores possíveis
para z .
Pelo Princípio
Fundamental da Contagem , o número
total de possibilidades será então igual a 4.3.3 = 36.
Portanto, o número 1800 possui 36 divisores positivos.
O
uso do raciocínio acima, nos permite enunciar a seguinte regra geral:
Dado um número natural n cuja forma
fatorada é n = 2 x . 3 y . 5 z
. ... , o número de divisores positivos de n
será igual ao produto
(x + 1).(y + 1) . (z + 1) .
...
Exemplos:
a) 12 = 2 2
. 3 1 \ número
de divisores positivos de 12 = (2+1).(1+1) = 6
b) 150 = 2 1
. 3 1 . 5 2 \ número
de divisores positivos de 150 = (1+1).(1+1).(2+1) = 12
3 –
Qual o número de divisores positivos de 1.000.000 ?
1.000.000
= 10 6 = (2 . 5) 6 = 2 6 . 5 6
. Logo, teremos:
Número de divisores positivos de 1000000 =
(6+1).(6+1) = 49
Portanto, 1.000.000 possui 49 divisores
positivos.
4 – Qual o número de divisores de
5.000.000 ?
5.000.000 = 5 . 10 6 = 5 . (2 . 5) 6
= 5 . 2 6 . 5 6 = 2 6 . 5
7
Portanto, o número de divisores positivos de
5.000.000 será igual a:
n = (6+1) . (7+1) = 7
. 8 = 56
Portanto, 5.000.000 possui 56 divisores positivos.
5
- Qual o número de divisores positivos de 100.000.000
?
100.000.000 = 10 8 = (2 . 5) 8 = 2 8
. 5 8
Portanto, o número de divisores positivos
de 100.000.000 será igual a:
n = (8+1) . (8+1) = 9.9 =
81
Portanto, 100.000.000 possui 81 divisores positivos.
Agora
resolva este:
Qual o número de divisores
positivos de 7.200.000 ?
Resposta: 162 divisores
positivos.
Paulo
Marques, Feira de Santana – BA – 06/03/2003 - editado em 22/02/2012
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