Solução:
Sendo D o dividendo, d o divisor e q o quociente, já sabemos que D = dq + r com 0 £ r < d.
Nestas condições, poderemos escrever, sendo D o número procurado:
D = 40q1 + 18
D = 38q2 + 26
onde q1 e q2 são os quocientes e, portanto, números inteiros.
Podemos inferir das duas igualdades acima, que 40q1 + 18 = 38q2 + 26 . Daí, vem:
40q1 = 38q2 + 26 – 18 = 38q2 + 8
Então, poderemos escrever:
q1 = (38q2 + 8) / 40
Como q1 é um número inteiro, o numerador 38q2 + 8 é um múltiplo de 40, ou seja:
38q2 + 8 = 40n , onde n é um número inteiro.
Daí tiramos que q2 = (40n – 8) / 38 = (38n + 2n – 8) / 38 = n + 2[(n – 4) / 38]
Nota: observe que substituir 40n por 38n + 2n é apenas um artifício para ajudar na simplificação, pois isto fez aparecer 38n / 38 que é igual a n. Portanto,
q2 = n + 2[(n – 4) / 38] = n + (n – 4) / 19, onde q2 e n são números inteiros.
Como a soma de dois números inteiros é um outro número inteiro, sendo n inteiro, a fração
(n – 4) / 19 deverá ser também um número inteiro e, portanto, n – 4 será múltiplo de 19, o que nos permite escrever n – 4 = 19k onde k é também inteiro.
Logo, n = 19k + 4
Substituindo o valor de q2 acima, na expressão de q1 visto anteriormente e efetuando os cálculos, fica:
Portanto, q1 = n e como vimos acima que n = 19k + 4, vem imediatamente que
q1 = 19k + 4.
Ora, o número natural procurado é dado por D = 40q1 + 18, conforme vimos no início desse texto. Logo, substituindo, vem finalmente:
D = 40(19k + 4) + 18 = 760k + 160 + 18 = 760k + 178 onde k é um número inteiro positivo ou nulo, ou seja, k = 0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, ...
Resposta: os números naturais que divididos por 40 deixam resto 18 e divididos por 38 deixam resto 26 são da forma j = 760k + 178 com k = 0, 1, 2, 3, 4, ...
Nota: substituindo os valores de k na solução geral, obteremos:
k = 0 Þ j = 178
k = 1 Þ j = 938
k = 2 Þ j = 1698
k = 3 Þ j = 2458
k = 4 Þ j = 3218
e assim sucessivamente. Observem que a seqüência 178, 938. 1698, 2458, 3218, ... é uma Progressão Aritmética – PA de razão 760.
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Paulo Marques, Feira de Santana – BA – 09/04/2004