Duas torneiras juntas enchem um tanque em 3:45h.
Uma das torneiras sozinha enche esse tanque em 4:00 horas a menos que a
outra. Quantas horas gastariam cada uma das torneiras para encher o mesmo
tanque?
A) 6h e 10h
B) 5h e 9h
C) 7h e 11h
D) 8h e 12h
E) 4:45h e 8:45h
Solução:
Inicialmente, vamos supor que nas torneiras exista água pois, não sendo
assim, não haveria solução possível. É que às vezes, pelas torneiras
não passa água e todos já sabemos disto!
Sejam T1 e T2 as torneiras em questão. Pelo enunciado, [T1 (+) T2] (as duas juntas) enchem o tanque em 3:45h. Vamos transformar 3:45h na forma decimal.
Ora, 3:45h = 3 horas e 45 minutos = 3h + 45
min = 3h + (45/60) h = 3h + 0,75h = 3,75h
Nota: nem é preciso lembrar que 1 h = 60 min, o
que justifica 45/60 = 0,75h.
Seja x o número de horas que a torneira T1 encheria o
tanque. Nestas condições, a torneira T2 encheria o tanque em (x +
4) horas pois isto significa que T1 encheria o tanque 4 horas a
menos do que T2.
Estes tipos de problema são facilmente resolvidos adotando a redução a uma hora, ou seja, calcular o volume de água preenchido em uma hora = 1h.
Seja V o volume do tanque. Poderemos escrever
então, as seguintes regras de três:
Para a torneira T1:
T1: x (h) ....................... V
1 (h)......................... V1 , onde V1 é o volume
enchido pela torneira T1 em 1h.
Daí tiramos V1 = V / x onde V1 é o volume
preenchido em 1h pela torneira T1.
Para a torneira T2 :
T2 : (x + 4) (h) ..................... V
1 (h) ..................... V2 , onde V2 é o volume
enchido pela torneira T2 em 1h.
Daí tiramos V2 = V / (x + 4) onde V2 é o volume
enchido pela torneira T2 em 1h.
Já sabemos que as duas torneiras juntas enchem o tanque em 3,75h. É óbvio
que em uma hora, as duas torneiras juntas encherão o volume V1 + V2
= V / x + V / (x + 4). Portanto, podemos escrever a seguinte regra de três:
3,75 h ................................. V
1,00 h ................................. V1 + V2
Então, poderemos escrever: 3,75 (V1 + V2) = 1,00 . V
3,75V1 + 3,75V2 = V
Substituindo os valores de V1 e V2 obtidos acima, vem:
3,75 (V / x) + 3,75(V / (x + 4)) = V
Colocando V em evidencia, vem:
V[3,75 / x + 3,75 / (x + 4)] = 1.V
Simplificando o termo comum V, fica:
3,75 / x + 3,75 / (x + 4) = 1
Vamos então resolver a equação acima:
Efetuando a adição indicada no primeiro membro:
Daí conclui-se que 3,75(x + 4) + 3,75x = x(x +
4)
Efetuando a multiplicação indicada no segundo membro da igualdade, fica:
3,75(x + 4) + 3,75x = x2 + 4x
Igualando a zero, vem:
x2 + 4x – 3,75(x + 4) – 3,75x = 0
Portanto,
x2 + 4x – 3,75x – 15 – 3,75x = 0
Simplificando, vem:
x2 – 3,50x – 15 = 0 , que é uma equação
do segundo grau .
Portanto, resolvendo pela Fórmula de Bhaskara:
Logo as raízes serão: x’ = (3,50 + 8,50) / 2
= 6 ou x’’ = (3,50 – 8,50) / 2 = -2,50
Lembrando que x é o número de horas que a torneira T1
encheria o tanque, vemos que a segunda raiz não serve ao problema e portanto
x = 6 h.
Como a torneira T2 leva (x + 4) horas para encher o mesmo tanque,
teremos
x + 4 = 6 + 4 = 10 h. Portanto, a resposta do problema proposto é:
Uma das torneiras gastaria 6 horas para encher o tanque sozinha e a outra
gastaria 10 horas, o que nos leva tranqüilamente à alternativa A.
Veja também o seguinte problema correlato:
Sobre torneiras, tanques e digitadores – ítem 2
Paulo
Marques, Feira de Santana – BA – 05/09/2004
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