Lucro na venda de ações

O probleminha simples a seguir, pretende ajudar aos investidores iniciantes no que concerne à venda de ações na Bolsa de Valores. 
Muitos iniciantes compram as ações por um preço P, vendem por um preço P' com P' > P  e, às vezes até perdem dinheiro na operação, mesmo com
P' > P . Há que se considerar no preço de venda, as taxas decorrentes da operação, sob pena de se incorrer em prejuízo. Ocorre que este fato elementar - incrivelmente é desconsiderado em muitos casos, gerando vendas desnecessarias e até desastrosas.
Vamos ao problema simples:

     Comprei N ações de uma Empresa listada na Bovespa a um preço unitário Pc. Sabe-se que o valor total das taxas da operação cobradas pela corretora é igual a Tx, tanto na compra como na venda. Nestas condições, qual o preço unitário de venda das N ações para que eu tenha um lucro de p%? 

Solução :

Nota: Bovespa - Bolsa de Valores do Estado de São Paulo.

Vejam o raciocínio simples:

Ao comprar N ações ao preço unitário Pc, pagando Tx de taxas, a despesa total (D) com a aquisição das N ações será igual a:
D = N.Pc + Tx

Nota: Tx : taxas cobradas pelas Corretoras de Valores, nas operações de compra e venda de ações. Normalmente as taxas são as seguintes: taxa de liquidação, emolumentos, taxa de corretagem e ISS (imposto sobre serviços). 

Ao vender o lote de N ações pelo preço unitário Pv, novamente pagando Tx de taxas, a receita total (R) oriunda da venda das N ações será igual a:
R = N.Pv - Tx

Então, o lucro ( L ) será igual a: L = receita - despesa = R - D

Substituindo os valores conhecidos, fica:
L = (N.Pc - Tx) - (N.Pv + Tx) = N.Pc - Tx - N.Pv - Tx = N(Pv - Pc) - 2.Tx

Repetindo:
L = N(Pv - Pc) - 2.Tx

Como o problema pede para calcular o preço unitário de venda das N ações para que o lucro seja de p% e como sabemos que a despesa com as compras foi igual a  D = N.Pc + Tx, poderemos escrever:

L = p%.D = p%[(N.Pc + Tx)] = (p/100)[(N.Pc + Tx)]. Se o valor da peorcentagem p% estiver escrito na forma decimal, poderemos prescindir da divisão por 100. Isto não altera a questão; é, por exemplo, escrever 0,20 em vez de 20%, etc.

Então, poderemos igualar as expressões anteriores, resultando:
N(Pv - Pc) - 2.Tx = p(N.Pc + Tx)

Desejamos achar o valor do preço de venda Pv. Sigamos em frente, desenvolvendo as operações indicadas:
N.Pv - N.Pc - 2.Tx = p.N.Pc + p.Tx

Isolando no primeiro membro o termo em Pv, fica:
N.Pv = p.N.Pc + p.Tx + N.Pc + 2.Tx

Daí, basta dividir ambos os membros por N (N diferente de zero), resultando:
Pv = (p.N.Pc + p.Tx + N.Pc + 2.Tx) / N

Pv = pNPc/N + p.Tx/N + NPc/N + 2.Tx/N
Simplificando, fica:
Pv = p.Pc + p.Tx/N + Pc + 2.Tx/N

Colocando Pc e Tx em evidência, fica:

Pv = Pc.(p + 1) + (p + 2).(Tx / N)

que é a fórmula procurada; o ganho percentual p% deverá ser expresso na forma decimal. Por exemplo, para um lucro de 12%, incluir na fórmula o valor 0,12.

Nota: Observe na fórmula acima, que quanto maior o valor de N (número de ações negociadas) , tanto mais o fator Tx/N irá diminuir, e se N for muito maior do que a taxa Tx, a influência da taxa Tx seria irrelevante, pois o quociente Tx/N tenderia a zero. Esta fórmula, então, é importante apenas para os pequenos investidores. Se , por exemplo, N = 1 000 000, a influência das taxas Tx seria realmente, quase ínfima.
Então, para N muito grande em relação a Tx, a fórmula simples, ficaria simplíssima: Pv = Pc.(1 + p) pois neste caso, o termo Tx/N em sendo pequeno (próximo de zero), o produto (p+2)(Tx/N) também o seria. 

Exemplo:
Comprei 1000 ações de determinado ativo ao preço unitário de R$2,64. Qual o preço unitário que devo vender, para lucrar 2%? Considere que as taxas de compra e venda são iguais a Tx = R$23,00, em média.

Solução:

Vamos usar a fórmula acima; temos: Tx = 23, N = 1000, Pc = 2,64 e p = 2% = 2/100 = 0,02.
Pv = Pc.(p + 1) + (p + 2).(Tx / N) 
Substituindo os valores, vem:
Pv = 2,64.(0,02 + 1) + (0,02 + 2).(23/1000)

Pv = 2,64.1,02 + 2,02.(23/1000)
Pv = 2,6928 + 0,046460 = 2,739260
Então, para garantir o lucro de 2%, deveríamos vender as ações a R$2,739260 (valor aproximado: R$2,74).

Verificação:
Despesa = D = 1000.2,64 + 23 = R$2663,00
Receita = R = 1000.2,739260 - 23 = R$2716,26
Lucro = R - D = 2716,26 - 2663,00 = R$53,26
Observe que 53,26/2663 = 0,02 = 2%.

     Vamos considerar agora, que foram compradas e vendidas 1 000 000 de ações. Neste caso, teríamos:
Pv = 2,64.1,02 + 2,02.(23/1000000) = 2,692846. Vejam que o número elevado de ações negociadas, reduziu consideravelmente a influência da taxa Tx no preço de venda, mas, o lucro continuaria o mesmo: 2%. 
Portanto, vale uma regra básica para os pequenos investidores: "comprar, acumular e vender lotes maiores de ações"!

Bons trades!

Paulo Marques, Feira de Santana – BA – 08/04/2011

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