Faça humor, não faça guerra!

Num grande acampamento militar há 150 blindados dos tipos BM3, BM4 e BM5, isto é, equipados com 3, 4 e 5 canhões do tipo MX9 respectivamente. O total de canhões disponíveis é igual a 530. A soma dos BM4 com os BM5 corresponde aos 2 / 3 dos BM3. Se para o início de uma manobra militar, cada canhão carrega 12 projéteis, quantos projéteis serão necessários para o grupo dos BM4 no início da operação?

A) 1920
B) 3240
C) 1240
D) 1820
E) 3220

Nota: Este problema foi encaminhado para solução por um estudante brasileiro, que preferiu não se identificar.

Solução:

Considerando-se que são x blindados do tipo BM3, y do tipo BM4 e z do tipo BM5, do enunciado infere-se imediatamente que x + y + z = 150, pois existem 150 blindados no acampamento.

Como cada um dos blindados BM3, BM4 e BM5 possuem 3, 4 e 5 canhões respectivamente, que totalizam 530, poderemos também escrever:
3x + 4y + 5z = 530.

Como a soma dos BM4 com os BM5 corresponde aos 2 / 3 dos BM3, do enunciado vem imediatamente que 
y + z = (2 / 3) . x , já que são x blindados do tipo BM3, y do tipo BM4 e z do tipo BM5. Observe que se 
y + z = (2 / 3) . x , poderemos multiplicar ambos os membros da igualdade por 3 (para eliminar o 3 do denominador) , obtendo:
3(y + z) = 3[(2 /3) . x]
3y + 3z = 2x
Igualando a zero, fica:
3y + 3z – 2x = 0 ; multiplicando ambos os membros da igualdade por (-1) , o que não altera a igualdade,
obteremos 2x – 3y – 3z = 0 .

Assim sendo, temos as 3 equações seguintes:

x + y + z = 150
3x + 4y + 5z = 530
2x – 3y – 3z = 0

O conjunto das 3 equações acima forma portanto, um sistema linear com 3 incógnitas.

O interessante aqui é que x , y e z já "sabem" os seus valores. Nós, é que não sabemos ainda! Vamos resolver então o sistema para conhecê-los! .

Poderemos resolver o sistema acima utilizando a Regra de Cramer ou o Método de escalonamento. 
Usaremos o segundo método, ou seja, vamos resolve-lo pelo método do escalonamento.

Voltemos ao sistema acima.

Multiplicando ambos os membros da primeira equação por (-3), vem:
- 3x - 3y - 3z = - 450
Observe que isto não altera a igualdade, pois se A = B então n. A = n . B, ou seja: uma igualdade não se altera quando multiplicamos ambos os membros por um mesmo número.

O novo sistema (que é equivalente ao primeiro) fica então:

- 3x - 3y - 3z = - 450
3x + 4y + 5z = 530
2x – 3y – 3z = 0

Somando as duas primeiras equações membro a membro e substituindo a segunda por esta soma, vem:

- 3x - 3y - 3z = - 450
y + 2z = 80
2x – 3y – 3z = 0

Multiplicando a primeira por 2 e a segunda por 3, vem:

- 6x – 6y - 6z = - 900
y + 2z = 80
6x – 9y – 9z = 0

Somando membro a membro a primeira equação com a terceira e substituindo o resultado na terceira, vem:

- 6x - 6y - 6z = - 900
y + 2z = 80
– 15y – 15z = - 900

Multiplicando a segunda equação por 15, vem:

- 6x - 6y - 6z = - 900
15 y + 30z = 1200
– 15y – 15z = - 900

Somando membro a membro a segunda e a terceira equações e substituindo o valor da soma na terceira, fica:

- 6x - 6y - 6z = - 900
15 y + 30z = 1200
15z = 300

Da terceira equação vem imediatamente que z = (300) / (15) = 20.

Substituindo z = 20 na segunda equação, vem:

15y + 30(20) = 1200
15y + 600 = 1200
15y = 1200 - 600
15y = 600
y = 600 / 15 = 40

Como y é o número de blindados tipo BM4, o problema está quase resolvido.

Podemos calcular o valor de x, substituindo na primeira equação os valores de z = 20 e y = 40 obtidos anteriormente. Teremos:

- 6x – 6(40) – 6(20) = - 900
– 6x – 240 - 120 = - 900
– 6x = -900 + 240 + 120 = - 900 + 360 = - 540
– 6x = - 540

x = (-540) / (-6) = 90
x = 90

Resumindo temos: x = 90, y = 40 e z = 20, o que confirma que a soma dos blindados resulta em 150 conforme enunciado da questão.

Voltemos ao problema:

Já sabemos que x = 40 (blindados BM3), y = 40 (blindados BM4) e z = 90 (blindados BM5).

Pelo enunciado da questão, cada blindado BM4 é equipado com 4 canhões. 
Como são 40 blindados tipo BM4, resulta em 40 . 4 = 160 canhões.
Como cada canhão carrega 12 projéteis, o número de projéteis necessário para o grupo dos BM4 será igual a 160 . 12 = 1920. Portanto, a alternativa correta é a de letra A.

Agora resolva este:

Quantos projéteis serão necessários para carregar os 150 blindados ?

Resposta: 6360.

Nota: o título "Faça humor, não faça guerra" foi inspirado num programa humorístico da década de 70 na TV brasileira, estrelado pelos grandes comediantes Renato Côrte Real (em 06 de outubro de 2003 ele completaria 79 anos) e Jô Soares. 

Este problema foi encaminhado para solução por um estudante brasileiro, que preferiu não se identificar.

Paulo Marques, 19 de junho de 2003 – Feira de Santana – BA, ampliado em 18/11/2006.
Editado em 20 de agosto de 2011.

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