Numa loja de hardware

Uma empresa de microcomputadores vende alguns produtos em pacotes, de acordo com a tabela a seguir:

	monitor (unidade)	processador  (unidade)	gravador (unidade)	Preço em reais
Pacote 1	2	1	3	2736
Pacote 2	1	0	2	840
Pacote 3	1	2	0	2952

Com base nos dados acima e considerando-se que o preço unitário de cada produto independe do pacote, a soma dos preços de uma unidade de cada produto será igual a:
a) R$ 1836      
b) R$ 1846       
c) R$ 1856          
d) R$ 1876         
e) R$ 1896

Nota: o enunciado acima, foi adaptado de uma questão que compareceu no vestibular da UFBA 2004 - 1a. fase.
UFBA - Universidade Federal da Bahia.

Solução:

Sejam x = preço de um monitor, y = preço de um processador e z = preço de um gravador.
Nestas condições, poderemos escrever baseado no enunciado:

2x + 1y + 3z = 2736
1x + 0y + 2z = 840
1x + 2y + 0z = 2952

Temos acima, um sistema de equações lineares, que pode ser escrito de uma forma simplificada como:
2x + y + 3z = 2736
x + 2z = 840
x + 2y = 2952

O problema pede para calcular a soma dos preços de uma unidade de cada produto, ou seja:
1x + 1y + 1z = x + y + z

Temos então que resolver o sistema de equações lineares acima, para determinar os valores de x, y e z e, por conseqüência, a sua soma x + y + z.

Poderíamos resolver o sistema usando a Regra de Cramer ou usando o método de escalonamento. Para este sistema que vamos resolver a seguir, achamos o seguinte caminho, mais fácil e direto:

De x + 2z = 840, tiramos z = (840 – x) / 2
De x + 2y = 2952, tiramos y = (2952 – x) / 2

Substituindo os valores de z e y na primeira equação acima, fica:

2x + [(2952 – x) / 2] + 3[(840 – x) / 2] = 2736

Desenvolvendo, teremos:
2x + 1476 – x/2 + 1260 – 3x/2 = 2736
Efetuando as operações indicadas, fica:
2x + 2736 – 2x = 2736
Isolando x no primeiro membro, fica:
2x – 2x = 2736 – 2736
Efetuando as operações indicadas, teremos:
0x = 0
Ora, daí vem que x = 0 / 0 . E agora?

Como x = b é o preço de um monitor, é lícito supor que b é um número real positivo.
Sabemos que  0 / 0 é uma indeterminação matemática, ou seja, admite qualquer resultado. Isto significa que existe um número infinito de valores para a variável x.
Façamos x = b , sendo b > 0. Pelo fato de x = b ser o preço de um monitor, já vimos que ele deve ser um número real positivo, já que é impossível um monitor custar um preço negativo! Preço nulo pode até ser, no caso do monitor ser doado! Negativo, porém, nunca vi!

Ora, se x = b,  e como vimos acima que y = (2952 – x) / 2  e  z = (840 – x) / 2, vem substituindo:
y = (2952 - b) / 2 = 1476 - b/2
z = (840 - b) / 2 = 420 - b/2

Temos então, a seguinte solução genérica para o sistema linear:
x = b
y = 1476 - b/2
z = 420 - b/2

Atribuindo-se valores a b, iremos encontrando soluções particulares do problema proposto. Por exemplo, para x = b = 400, obteremos por simples substituição:
y = 1476 – 400/2 = 1476 – 200 = 1276
z = 420 – 400/2 = 420 – 200 = 220, ou seja, uma solução particular do problema seria o terno ordenado (x, y, z) = (400, 1276, 220).

Logo, a soma procurada x + y + z será igual a:
x + y + z = b + 1476 - b/2 + 420 - b/2 = 1896 + b  - b = 1896

Portanto, a soma dos preços de uma unidade de cada produto será igual  a R$1896,00 (hum mil oitocentos e noventa e seis reais), que é a resposta do problema o que nos leva, tranqüilamente à alternativa E.

Observe que os preços x, y e z podem variar (dentro de certos intervalos), mas, a soma será constante e igual a 1896.

Considerações adicionais e interessantes:

I - Como x, y e z são preços, seus valores serão necessariamente positivos.
Portanto, como  x = b, y = 1476 - b/2 e z = 420 - b/2, deveremos ter:
x = b > 0
y = 1476 - b/2 > 0
z = 420 - b/2 > 0

De 1476 - b/2 > 0, vem: 1476 > b/2  de onde vem: b/2 < 1476 ou seja: b < 2952.
De 420 - b/2 > 0, vem: 420 > b/2  de onde vem: b/2 < 420 ou seja: b < 840.

Ora, a interseção dos intervalos b > 0  e  b < 2952 e b < 840 é naturalmente e tranqüilamente 
0 < b < 840. Como b representa o preço de um monitor, poderemos concluir que o preço do monitor será necessariamente um valor inferior a R$840,00.

II – Lembrando que x = b, y = 1476 - b/2 e  z = 420 - b/2, com 0 < b < 840 conforme vimos acima, poderemos concluir o que segue:
Para  b = 0  Þ y = 1476 – 0/2 = 1476 – 0 = 1476  e  z = 420 – 0/2 = 420 – 0 = 420
Para b = 840 Þ y = 1476 – 840/2 = 1056  e  z = 420 – 840/2 = 0

Como x, y e z representam os preços unitários do monitor, processador e gravado respectivamente, podemos dizer que, de acordo com as condições do problema proposto:

a) o preço do monitor (x) pode  variar entre zero e 840 reais.
b) o preço do processador (y) pode variar entre 1056 e 1476 reais.
c) o preço do gravador (z) pode variar entre zero e 420 reais.

Agora resolva este:

Resolva o seguinte sistema de equações lineares:
x + y + 2z = 13
x + 3z = 7
x + 2y = 20
e calcule o valor da soma x + y + z.

Resposta: 14

Paulo Marques, 30 de outubro de 2004 – Feira de Santana – BA.
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