A Terra vista do espaço

Calcular o percentual da superfície da Terra visto por um astronauta posicionado a uma altura H em relação ao solo. Suponha que a Terra seja esférica e possua raio R.

Solução:

Veja a figura , acima onde:

H = distancia do astronauta ao solo

R = raio da Terra

Sendo P a posição do astronauta, a visão dele será uma calota esférica de altura h.

Nota: uma analogia apenas para lembrar: se você partir uma laranja em duas partes, ficarão definidas duas calotas , que serão as superfícies das cascas de cada uma das partes da laranja. Observe que calota não é um sólido e sim, uma superfície. Portanto, calota não possui volume e sim, área.O percentual da superfície da Terra visto pelo astronauta, será igual ao quociente da área da calota esférica pela área total da esfera , multiplicado por 100 (para o resultado ser em %).

Ora, a área de uma calota de altura h numa esfera de raio R é dada por
Sc = 2pRh e a área de uma esfera de raio R é dada por Se = 4pR2 .

Portanto, o percentual da superfície vista pelo astronauta será %p dada por:

%p = (Sc / Se).100 = 100.Sc / Se
Nota: A multiplicação por 100 na igualdade acima é para o resultado ser expresso diretamente em porcentagem.

Substituindo Sc e Se pelas expressões vistas acima, vem:

%p = (100.2pRh) / (4pR2) . Simplificando, vem:

%p = (50h) / R onde %p é a percentagem procurada.

Precisamos calcular então a altura h da calota. Vamos então, nesta direção.

Considerando que os segmentos PA e PB são tangentes à circunferência (ver figura acima), podemos concluir que PB é perpendicular a OB e, portanto, o triângulo OPB é um triângulo retângulo. No triângulo OPB, temos os catetos OB e PB e a hipotenusa OP.

Sabe-se que dado um triângulo retângulo de hipotenusa a e catetos b e c e sendo m a projeção do cateto b sobre a hipotenusa e sendo n a projeção do cateto c sobre a hipotenusa, podemos escrever: b2 = am e c2 = an .

Então, no triângulo retângulo OPB da figura acima, poderemos escrever:

OB2 = OP.OD

Substituindo OB = R , OP = H + R OD = R – h (olhe com atenção especial a figura acima para concluir isto), teremos:

R2 = (H + R)(R – h)
Desenvolvendo a igualdade acima:

R2 = HR – Hh + R2 – Rh
R2 – HR + Hh – R2 + Rh = 0
Hh – HR + Rh = 0

Hh + Rh = HR

Colocando h em evidencia, h(H + R) = HR
Daí, tiramos: h = HR / (H+R)

Como já vimos acima que %p = 50h / R, vem, substituindo:

%p = 50[(HR / (H+R)] / R = 50HR / R(R+H) = 50H / (R + H)

Portanto, o percentual %p da superfície da Terra visto por um astronauta posicionado a uma altura H em relação ao solo será dado por %p = 50H / (H + R) onde R é o raio da Terra, considerada esférica.

Considerando-se que o valor aproximado do raio da Terra é 6400 km, teremos:

%p @ 50H / (6400 + H) onde o símbolo @ significa igual aproximadamente a .
Assim, por exemplo, para uma altura de H = 100 km, resultaria
%p = 50.100 / (6400+100) = 5000 / 6500 @ 0,77% da superfície da Terra seria vista.

Para H = 1000 km , teríamos %p = 50.1000 /(6400+1000) @ 6,76% e assim por diante.
Poderemos então construir a tabela abaixo com base na fórmula
%p @ 50H / (H + 6400):

 

H (em km)

%p

1

0,0078%

10

0,0780%

100

0,7692%

1000

6,7567%

10000

30,4878%

100000

46,9925%


Observe que se H for muito maior do que 6400 km, poderemos dizer que H + 6400 @ H e a fórmula acima se resumiria a %p = 50H / H = 50%. Isto significa que se a altura H tender para o infinito, o percentual de visão vai tender para 50%, ou seja, a metade da área total da Terra poderá ser vista.

Agora resolva este:

Calcular o percentual da superfície da Terra visto por um astronauta posicionado a uma altura R em relação ao solo. Suponha que a Terra seja esférica e possua raio R.
Resposta: 25%

Paulo Marques, 23 de  fevereiro de 2003, Feira de Santana - BA.
                                                                 
                                                            VOLTAR