Determine a soma dos ângulos A, B, C, D, E, F e G na figura abaixo.

Solução:

Desejamos calcular o valor da soma de ângulos
S = A + B + C + D + E + F + G

Da simetria da figura, os ângulos A, B, C, D, E, F e G possuem a mesma medida e, portanto, a soma S será igual a:

S = A + A + A + A + A + A + A = 7.A
S = 7.A

Temos agora que calcular o valor do ângulo A.

Veja a figura a seguir:

Podemos escrever:

A + x + x = 180º (lei angular de Tales).
A + 2x = 180º

x + y = 180º (ângulos suplementares).
Das igualdades acima, vem: A + 2x = x + y;
logo, A = x + y – 2x = y – x.

A = y – x

Como x + y = 180º, vem que x = 180º - y
Substituindo, vem:

A = y – (180º - y) = 2y – 180º

Basta calcular o ângulo y, que é o ângulo interno do heptágono regular, na figura dada no enunciado do problema.

O ângulo interno de um polígono regular de n lados é dado por:

Logo, o ângulo y será dado por:

y = (7 – 2).180º / 7 = 5.180º/7 (n = 7 = número de lados do heptágono).

Portanto, como já sabemos que A = 2y – 180º, vem:

A = 2(5.180º/7) – 180º = 1800/7 – 180

Finalmente, vem, lembrando que a soma procurada é igual a
S = 7.A

S = 7(1800/7 – 180) = 1800 – 1260 = 540º

Portanto, o valor da soma dos sete ângulos indicados na figura é igual a 540º.

Resposta: 540º

Paulo Marques, 19 de novembro de 2000.

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