Logaritm(ando) no Carnaval da Bahia 2014

1 – Qual o domínio da função real de variável real y = x ^{l og x} ?

Solução:

Como já sabemos que em R – conjunto dos números reais - só existe logaritmo de número real positivo, para que exista o logaritmo de x na função dada, deveremos ter x > 0. Portanto, o domínio D_f da função é o intervalo (0, ¥), ou seja, o conjunto dos números reais positivos, o qual pode também ser representado como R^*₊ .

Então, D_f = (0, ¥) = R^*₊ = {x Î R; x > 0} , o conjunto dos números reais estritamente positivos.

Nota: plotando (marcando) os pontos (x, y) no plano cartesiano xOy, tais que y = x ^{log x} , obteremos a curva a seguir:


Gráfico da função y = x ^{log x}, usando o aplicativo Graphmatica obtido na WEB.

Observe no gráfico acima que a variável independente x é sempre positiva, o que confirma que o domínio da função é o intervalo  (0, ¥). Para x £ 0, a função não está definida.

2 – Qual o conjunto imagem da função y = x ^{log x} ?

Solução:

O conjunto imagem da função será o conjunto dos valores possíveis para a variável dependente y. Do gráfico acima, podemos inferir (deduzir) facilmente que y ³ 1, ou seja, o conjunto imagem é o intervalo [1, ¥).
Vamos obter este resultado, algebricamente:

Como y = x ^{log x} , poderemos escrever: log x = log_xy = log y / log x
Daí, vem que logx . logx = logy = (logx)². Como (logx)² é positivo ou nulo, vem que logy ³ 0 , de onde tiramos
y ³ 10⁰ ou y ³ 1.

Notas que justificam as passagens acima:

a) lembre-se que se A = b^w, então w = log_bA , para 0 < b ¹ 1.
b) log_bN = logN / logb, onde logN e logb são os logaritmos decimais de N e b.

3 – Os valores de k para os quais a equação x ^logx = kx admite solução real, são todos os números reais tais que k ³ p. Nestas condições, p é igual a:
a) 10 ^{–1 / 4}
b) 10 ^{–3 / 4}
c) 10 ^{–1 / 2}
d) 1
e) Ö10

Solução:

Já sabemos que se b^w = A então w = log_b A . Então poderemos escrever:
Se x ^logx = kx então logx = log _x (kx) = log (kx) / logx . Então:
logx = log (kx) / logx. Daí tiramos:
(logx)² = log kx
Aplicando a propriedade de logaritmo de produto ao segundo membro, vem:

(logx)² = logk + logx. Igualando a zero, fica: (logx)² – logx - logk = 0
Fazendo logx = y (uma mudança de variável), teremos:
y² – y – logk = 0

Temos uma equação do segundo grau da forma ay² + by + c = 0, onde a = 1,
b = -1 e c = -logk. Para que esta equação possua raízes reais, deveremos ter o discriminante positivo ou nulo, ou seja: b² – 4ac ³ 0.
Substituindo os valores conhecidos, fica:

(-1)² – 4.1.(-logk) ³ 0 ou 1 + 4logk ³ 0. Logo,
4logk ³ -1
logk ³ -1/4 ; como a base é igual a 10, poderemos escrever:
k ³ 10 ^-1/4
Portanto, a alternativa correta é a de letra A.

4) Qual o conjunto solução da equação x ^logx = x ?

Solução:  

Sabemos que se b ⁿ = w então n = log _b w = log w / log b; logo, poderemos escrever, a partir da equação dada x ^logx = x , o que segue: logx = logx/logx -----> (logx)² = logx -----> (logx)² - logx = 0; colocando logx em evidência, fica:
(logx)(logx - 1) = 0. Sabemos que para um produto de dois fatores ser igual a zero, um dos fatores deverá ser nulo, ou seja:
se M.N = 0 então M = 0 ou N = 0.
Então, se (logx)(logx - 1) = 0 então deveremos ter logx = 0 ou logx - 1 = 0; logo, de logx=0, tiramos x = 10⁰ = 1 e de logx - 1 = 0 vem que logx = 1 e, finalmente x = 10¹ = 10. 
Nota: quando escrevemos o logaritmo sem indicar a base, isto significa - por convenção - que a base é igual a 10.  Portanto,
logx = log₁₀ x.

Portanto, o conjunto solução da equação x ^logx = x é igual a S = {1, 10}.

5) Qual o conjunto solução da equação x ^logx = x³ ?

Solução: utilizando a mesma metodologia do exercício anterior, poderemos escrever:
logx = logx³ /logx ------> logx = 3logx/logx -----> (logx)² = 3logx -----> (logx)² - 3logx = 0 -----> logx(logx - 3) = 0, de onde tiramos imediatamente logx=0 ou logx = 3 e, portanto x = 10⁰ = 1 ou x = 10³ = 1000.
Nota: lembre-se da seguinte propriedade dos logaritmos: logx^m = m.logx

Portanto, o conjunto solução da equação x ^logx = x³ é igual a S = {1, 1000}.

6) O volume de um líquido volátil diminui de 20% por hora. Após um tempo t, esse volume fica reduzido à décima parte. Usando log2 = 0,30, podemos concluir que: 

a) t = 8h
b) t = 9h
c) t = 10h
d) t = 12h
e) t = 15h

Solução: Seja V_t o volume do líquido no tempo t. Teremos:
V₀ = V
V₁ = (0,8).V
V₂ = (0,8) . V₁ = (0,8)² . V
V₃ = (0,8) . V₂ = (0,8)³ . V
Observando as expressões acima, não deve ser difícil concluir que:
V_t = (0,8)^t . V
Como V_t = V/10 (dado do problema), vem: V/10 = (0,8)^t . V
Cancelando o fator comum V, fica: 1/10 = (0,8)^t \ 1/10 = (8/10)^t
Pela definição e propriedades dos logaritmos, vem:


Portanto, resposta t = 10h e a alternativa correta é a de letra C.