Exercícios de Logaritmos II

Se necessário, revise Logaritmos. 

Nota: nos exercícios a seguir, a não indicação da base, significa logaritmo na base 10, ou seja, log N = log₁₀N.

1 – VUNESP – Se log 8 = 0,903 e log 70 = 1,845, então log 14 é igual a:

a) 1,146
b) 1,164
c) 1,182
d) 1,208
e) 1,190

Solução:

Observe que 14 = 2x7. Portanto,
log 14 = log (2.7) = log 2 + log 7

Como log 8 = 0,903, poderemos escrever:
log 2³ = 0,903 \ 3.log 2 = 0,903 \ log 2 = 0,903/3
log 2 = 0,301

Como log 70 = 1,845, poderemos escrever:
log 70 = log (7.10) = log 7 + log 10 = 1,845

Como o logaritmo decimal de 10 é igual a 1, ou seja,
log 10 = 1, vem imediatamente por substituição:
log 7 + 1 = 1,845 \ log 7 = 0,845.

Finalmente, log 14 = log (2.7) = log 2 + log 7
log 14 = 0,301 + 0,845 = 1,146
log 14 = 1,146

2 – CESGRANRIO – As indicações R₁ e R₂, na escala Ritcher, de dois terremotos estão relacionadas pela fórmula
R₁ – R₂ = log(M₁/M₂), onde M₁ e M₂ medem a energia liberada pelos terremotos sob a forma de ondas que se propagam pela crosta terrestre. Houve dois terremotos: um correspondente a R₁ = 8 e outro correspondente a R₂ = 6. 
Então, a razão (M₁/M₂) vale:

a) 100
b) 2
c) 4/3
d) 10
e) 1

Solução:

Decorre imediatamente do enunciado que:
8 – 6 = log (M₁/M₂) = 2.
Logo, (M₁/M₂) = 10² = 100.

3 – Mackenzie – O volume de um líquido volátil diminui de 20% por hora. 
Após um tempo t, seu volume se reduz à metade. 
O valor que mais se aproxima de t é:

a) 2h 30 min
b) 2h
c) 3h
d) 3h 24 min
e) 4h
Dado: log 2 = 0,30.

Solução:

Seja V_o o volume inicial do líquido.

Teremos para o volume V, lembrando que
100% - 20% = 80% = 0,80:
Após 1 hora: V = 0,80.V_O
Após 2 horas: V = (0,80).(0,80.V_O) = (0,80)².V_O
..............................................
Após n horas: V = (0,80)ⁿ.V_o

Quando o volume for a metade do volume inicial, teremos V = V_O/2
Substituindo, fica:
V_O/2 = (0,80)ⁿ . V_O

Simplificando, vem: 1/2 = (0,80)ⁿ
Aplicando logaritmo decimal a ambos os membros, vem:

log(1 /2) = log (0,80)ⁿ
log 1 – log2 = n.log 0,80

log 1 – log 2 = n . log (8/10)
log 1 – log 2 = n.(log 8 – log 10)

log 1 – log 2 = n.(log 2³ – log 10)
log 1 – log 2 = n.(3.log 2 – log 10)

Como log 1 = 0  e log 10 = 1, vem:
- log 2 = n.(3.log 2 – 1)

Substituindo o valor de log 2 = 0,30, fica:
- 0,30 = n.[3.(0,30) – 1]
-0,30 = n.(0,90 – 1)
-0,30 = - 0,10.n
n = -0,30/(-0,10) = 3h
n = 3h

4 – Resolva a equação seguinte:
log₂(x² + 2x – 7) – log₂(x – 1) = 2

Solução:

Aplicando a propriedade de logaritmo de quociente, ou seja:
log_bA – log_bB = log_b(A/B), vem:
log₂[(x² + 2x – 7)/(x – 1)] = 2 

Lembrando que se log_bN = c então b^c = N, vem:
2² = [(x² + 2x – 7)/(x – 1)
4(x – 1) = x² + 2x – 7
4x – 4 - x² - 2x + 7 = 0
2x – x² + 3 = 0
x² - 2x - 3 = 0

Resolvendo esta equação do segundo grau, vem imediatamente:
x = 3  ou  x = -1

Observe que a raiz x = -1 não serve ao problema, pois na equação dada, 
log₂(x² + 2x – 7) – log₂(x – 1) = 2, substituindo x por –1, as expressões entre parêntesis seriam negativas e, como sabemos, não existe logaritmo de número negativo. Assim, a única solução da equação proposta é x = 3.

5 – FUVEST – Se log 8 = a então log 5 vale:

a) a³
b) 5 a – 1
c) 1 + a/3
d) 2 a/3
e) 1 – a/3

Solução:

Podemos escrever:
log 2³ = a  \ 3.log 2 = a  \ log 2 = a/3

Ora, 5 = 10/2 e, portanto,
log 5 = log(10/2) = log 10 – log 2 = 1 – a/3.
log 5 = 1 – a/3

Agora resolva este:

Se log₂(x – y) = a, e x + y = 8, determine log₂(x² – y²).

Resposta: a + 3.

Paulo Marques - Feira de Santana, 28 de junho de 2001

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