Letícia e um problema

Resolva a equação abaixo em R (conjunto dos números reais) :
log₁₆x + log_x2 = 5/4

Nota: problema enviado para solução, pela visitante do site, Letícia do Brasil.

Solução:

Sabendo-se que:

log_bN = log_aN / log_ab   (fórmula da mudança de base),
poderemos escrever para log₁₆x :
log₁₆x = log₂x / log₂16 = log₂x / 4, uma vez que log₂16 = 4, pois 2⁴ = 16.

Substituindo na expressão original, vem:
log_x2 + log₂x / 4 = 5/4

Multiplicando ambos os membros por 4, (para eliminar o denominador 4), fica:
4.log_x2 + log₂x = 5

Lembrando que log_ba = 1 / log_ab , entenderemos facilmente que
log_x2 = 1 / log₂x

Substituindo novamente, vem:
4 / log₂x  + log₂x = 5

Fazendo log₂x = y (uma mudança transitória de variável), vem:
4 / y + y = 5

Supondo y ¹ 0, poderemos multiplicar ambos os membros da igualdade acima por   y, 
para eliminar o denominador y.

Teremos então:
4 + y² = 5y , ou passando 5y para o primeiro membro:
y² – 5y + 4 = 0

Resolvendo a equação do segundo grau acima, encontraremos:
y = 4 ou y = 1

Ora, já sabemos que y = log₂x (devido à mudança de variável feita acima) e, portanto:
log₂x = 4  OU   log₂x = 1

Daí, da definição de logaritmo,  concluímos inevitavelmente que:
x = 2⁴  ou  x = 2¹  \ x = 16 ou x = 2.

Logo, o conjunto solução (ou conjunto verdade) do problema apresentado é:
S = { 2; 16 }.

Paulo Marques, 29 de março de 2002 – Feira de Santana - BA
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