Num poste de iluminação pública, uma lâmpada incandescente ainda do século XX.

Nota:  a resolução desta questão requer noções de derivadas

Uma lâmpada de um poste de iluminação pública está situada a uma altura de 6m. Se uma pessoa de 1,80m de altura, posicionada embaixo da lâmpada, caminhar afastando-se da lâmpada a uma velocidade de 5m/s, com qual velocidade se desloca a extremidade de sua sombra projetada na rua?

SOLUÇÃO:

Considere a figura a seguir:

Supondo que a pessoa partiu do ponto O a uma velocidade de 5m/s, depois de t segundos, ela terá percorrido a distância d = 5.t e estará no ponto B.

Como a luz se propaga em linha reta, a ponta da sombra da pessoa, estará no ponto S. Seja y esta distância.

Pela semelhança dos triângulos BAS e OLS, poderemos escrever:

Substituindo os valores, vem:

Daí, fica:

6(y – 5t) = 1,80.y
6y – 30t = 1,80y
6y – 1,80y = 30t
4,20y = 30t
y = (30/4,20)t

Portanto,
y = 7,14t

Ora, a velocidade v do ponto S  será a derivada dy/dt, ou seja:

Como y = 7,14t, vem imediatamente que: 

Portanto, a velocidade do ponto extremo da sombra é igual a 7,14 m/s.

Agora, um problema bem simples cuja solução não necessita do uso do conceito de derivada, mas, que no fundo, tem tudo a ver, pois envolve o conceito de velocidade e, como vimos, a velocidade v é a derivada do espaço (y) em relação ao tempo (t) ou seja:
v = dy / dt 
. Neste caso, poderemos escrever dy = v . dt . Esta igualdade é uma forma bem simples de introduzir o conceito da operação inversa da derivada, que é a integral. Voltaremos a este assunto em breve.

Eis a questão:

Uma pessoa acende uma lanterna no instante t = 0. Após um milésimo de segundo, qual a distância y alcançada pela luz da lanterna?
Solução: sabemos que a velocidade da luz é igual a 300000 km/s. Logo, y = vt, onde t = 1/1000 s. Logo, 
y = 300000 km/s . (1/1000) s = 300000/1000 = 300 km. Simples, assim.

Nota: a fórmula y = v.t é apenas um caso particular da expressão geral dy = v.dt , a qual será analisada em breve, conforme dissemos acima.

Paulo Marques – Feira de Santana – BA – 27.05.2000 - revisado e atualizado em 06 de agosto de 2011 DC.

VOLTAR
CONTINUAR