Segunda derivada

SUAPE-ENG/2011 - A função f de variável real é tal que f(0) = 1 , f(1) = 0  e sua segunda derivada é f ''(x) = 12x - 8. O valor de f(3) é:

A) 6
B) 22
C) 38
D) 64
E) 96

Nota: este problema foi enviado por um visitante do site pedindo a solução. Ei-la:

SOLUÇÃO: Sabemos que dada um função f, a sua segunda derivada é a derivada da derivada de f ou seja , uma vez determinada a derivada de f, normalmente representada por f ', derivando f ' obteremos a segunda derivada f ''.

No presente caso, é dado que f ''(x) = 12x - 8.
Já sabemos do capítulo sobre derivadas que sendo f(x) = a.xn  teremos f '(x) = n.a.xn-1 . Percebam que o grau da função f(x) é n e o da derivada é n-1 ou seja, uma unidade a menos. A segunda derivada neste caso, será: f ''(x) = n(n-1).xn-2 . Verificamos que o grau da segunda derivada é n-2, ou seja, duas unidades a menos. 

Ora, se a segunda derivada conforme o enunciado da questão é f ''(x) = 12x - 8, de grau 1, pelas considerações acima concluímos que a função f(x) terá grau 3 ou seja, será da forma f(x) = ax3 + bx2 + cx + d     [função polinomial de grau 3].

Vamos determinar a derivada e a segunda derivada da função acima:

f '(x) = 3ax2 + 2bx + c

Derivando f ' obteremos f '', ou seja:
f ''(x) = 6ax + 2b

Mas, foi dito que f ''(x) = 12x - 8. Então, deveremos ter necessariamente: 6a = 12 e 2b = -8, de onde tiramos a = 2 e b = -4, o que nos permite reescrever a função f como f(x) = 2x3 - 4x2 + cx + d.

Mas, é dito também que f(0) = 1 e f(1) = 0. Logo, vem por mera substituição:

f(0) = 2.03 - 4.02 + c.0 + d = 1 , de onde tiramos d = 1.
Então, a função f é igual a f(x) = 2x3 - 4x2 + cx + 1 . Para determinar o valor de c, basta usar a segunda condição f(1)=0. Teremos:

f(1) = 2.13 - 4.12 + c.1 + 1 = 0 , de onde tiramos c = 1.

Então, finalmente a função fica: f(x) = 2x3 - 4x2 + x + 1. O problema pede para calcular f(3), logo:

f(3) = 2.33 - 4.32 + 3 + 1 = 2.27 - 4.9 + 3 + 1 = 54 - 36 + 4 = 18 + 4 = 22 , o que nos leva tranquilamente à alternativa B.

Paulo Marques, 31 de dezembro de 2011. Feliz 2012! 

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