SUAPE-ENG/2011 - A função f de variável real é tal que
f(0) = 1 , f(1) = 0 e sua segunda derivada é f ''(x) = 12x - 8. O valor
de f(3) é:
A) 6
B) 22
C) 38
D) 64
E) 96
Nota: este problema foi enviado por um visitante do
site pedindo a solução. Ei-la:
SOLUÇÃO:
Sabemos que dada um função f, a sua segunda derivada
é a derivada da derivada de f ou seja , uma vez determinada a derivada
de f, normalmente representada por f ', derivando f ' obteremos a segunda
derivada f ''.
No presente caso, é dado que
f ''(x) = 12x - 8.
Já sabemos do capítulo sobre derivadas que sendo
f(x) = a.xn teremos f '(x) = n.a.xn-1 . Percebam que
o grau da função f(x) é n e o da derivada é n-1 ou seja, uma
unidade a menos. A segunda derivada neste caso, será: f ''(x) = n(n-1).xn-2
. Verificamos que o grau da segunda derivada é n-2, ou seja, duas unidades a
menos.
Ora, se a segunda derivada conforme o enunciado da questão é f ''(x) = 12x -
8, de grau 1, pelas considerações acima concluímos que a função f(x) terá
grau 3 ou seja, será da forma f(x) = ax3 + bx2 + cx +
d [função polinomial de grau 3].
Vamos determinar a derivada e
a segunda derivada da função acima:
f '(x) = 3ax2 + 2bx
+ c
Derivando f ' obteremos f '',
ou seja:
f ''(x) = 6ax + 2b
Mas, foi dito que f ''(x) =
12x - 8. Então, deveremos ter necessariamente: 6a = 12 e 2b = -8, de onde
tiramos a = 2 e b = -4, o que nos permite reescrever a função f como f(x) =
2x3 - 4x2 + cx + d.
Mas, é dito também que f(0)
= 1 e f(1) = 0. Logo, vem por mera substituição:
f(0) = 2.03 -
4.02 + c.0 + d = 1 , de onde tiramos d = 1.
Então, a função f é igual a f(x) = 2x3 - 4x2 + cx + 1
. Para determinar o valor de c, basta usar a segunda condição f(1)=0. Teremos:
f(1) = 2.13 -
4.12 + c.1 + 1 = 0 , de onde tiramos c = 1.
Então, finalmente a função
fica: f(x) = 2x3 - 4x2 + x + 1. O problema pede
para calcular f(3), logo:
f(3) =
2.33 - 4.32 + 3 + 1 =
2.27 - 4.9 + 3 + 1 = 54 - 36 + 4 = 18 + 4
= 22 , o que nos leva tranquilamente à alternativa B.
Paulo
Marques, 31 de dezembro de 2011. Feliz 2012!
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