- na primeira semana, houve uma redução de 20% no número de bactérias;
- na segunda semana, houve um aumento de 10% em relação à quantidade de bactérias existentes ao final da primeira semana;
- a partir da terceira semana, o número de bactérias cresceu em progressão aritmética de razão 12;
- no final da décima quinta semana, o número de bactérias existentes era igual ao inicial.
Com base nessas informações, determine o número de bactérias existentes no início da pesquisa.
Solução:
Seja n o número de bactérias no início da pesquisa. Na primeira semana, houve uma redução de 20% ou seja, ficaram 100% - 20% = 80% do número inicial de bactérias, ou seja 80% de n = (80/100).n = 0,80n.
Ao final da segunda semana, houve um aumento de 10% relativo ao número existente na primeira semana, ou seja, o número de bactérias evoluiu para (1,10).(0,80n) = 0,88n.
Nas 13 semanas seguintes, o número de bactérias cresceu em PA – Progressão Aritmética - de razão 12; daí, vem, utilizando a fórmula do termo geral de uma PA de primeiro termo an e razão r:
an = a1 + (n – 1).r
Agora cuidado! O primeiro termo desta PA não é 0,88n (da segunda semana) e sim 0,88n + 12 pois é dito que a partir da terceira semana, o número de bactérias cresceu em progressão aritmética de razão 12. Esta é a única sutileza deste problema; o resto é bastante simples.
a13 = (0,88n + 12) + (13 – 1).12 = 0,88n + 156
Como é dito no enunciado que no final da décima quinta semana, o número de bactérias existentes era igual ao inicial, poderemos escrever:
0,88n + 156 = n \ 156 = n – 0,88n = 0,12n \ n = 156 / 0,12 = 15600 / 12 = 1300
Portanto, no início haviam 1300 bactérias, que é a resposta do problema proposto.
Somente a título de verificação, vamos escrever o número de bactérias semanal:
Número inicial: 1300
Ao final da primeira semana: 80% de 1300 = 1040
Ao final da segunda semana: 1,10.1040 = 1144
Ao final da terceira semana: 1144 + 12 = 1156 (aumento em PA de razão 12)
Ao final da quarta semana: 1156 + 12 = 1168
Ao final da quinta semana: 1168 + 12 = 1180
Ao final da sexta semana: 1180 + 12 = 1192
Ao final da sétima semana: 1192 + 12 = 1204
Ao final da oitava semana: 1204 + 12 = 1216
Ao final da nona semana: 1216 + 12 = 1228
Ao final da décima semana: 1228 + 12 = 1240
Ao final da décima primeira semana: 1240 + 12 = 1252
Ao final da décima segunda semana: 1252 + 12 = 1264
Ao final da décima terceira semana: 1264 + 12 = 1276
Ao final da décima quarta semana: 1276 + 12 = 1288
Ao final da décima quinta semana: 1288 + 12 = 1300
Agora resolva este similar:
Para estudar o desenvolvimento de um grupo de bactérias, um laboratório realizou uma pesquisa durante 15 semanas. Inicialmente, colocou-se um determinado número de bactérias em um recipiente e, ao final de cada semana, observou-se o seguinte:
- na primeira semana, houve uma redução de 20% no número de bactérias;
- na segunda semana, houve um aumento de 10% em relação à quantidade de bactérias existentes ao final da primeira semana;
- a partir da terceira semana, o número de bactérias cresceu em progressão aritmética de razão 10;
- no final da décima quinta semana, o número de bactérias existentes era igual a 89% do número inicial.
Com base nessas informações, determine o número de bactérias existentes no início da pesquisa.
Resposta: 13000 bactérias.
Comentário: observe que o problema acima é similar ao primeiro , onde foram modificados apenas os valores da razão da PA (de 12 para 10) e o número final de bactérias (de 100% de n para 89% de n). Vejam que estas pequenas mudanças nos dados, modificou fortemente a resposta (passou de 1300, no primeiro problema, para 13000 no segundo. Para enxergar melhor o porquê dessa variação, vamos considerar o mesmo problema, colocando a razão da PA igual a r e o número final de bactérias igual a x% do número inicial. O novo enunciado seria:
Para estudar o desenvolvimento de um grupo de bactérias, um laboratório realizou uma pesquisa durante 15 semanas. Inicialmente, colocou-se um determinado número de bactérias em um recipiente e, ao final de cada semana, observou-se o seguinte:
- na primeira semana, houve uma redução de 20% no número de bactérias;
- na segunda semana, houve um aumento de 10% em relação à quantidade de bactérias existentes ao final da primeira semana;
- a partir da terceira semana, o número de bactérias cresceu em progressão aritmética de razão r;
- no final da décima quinta semana, o número de bactérias existentes era igual a x % do número inicial.
Com base nessas informações, determine o número de bactérias existentes no início da pesquisa.
Solução:
Analogamente ao que já foi visto, poderemos escrever:
Seja n o número de bactérias no início da pesquisa. Na primeira semana, houve uma redução de 20% ou seja, ficaram 100% - 20% = 80% do número inicial de bactérias, ou seja 80% de n = (80/100).n = 0,80n.
Ao final da segunda semana, houve um aumento de 10% relativo ao número existente na primeira semana, ou seja, o número de bactérias evoluiu para (1,10).(0,80n) = 0,88n.
Nas 13 semanas seguintes, o número de bactérias cresceu em PA de razão r; daí, vem, utilizando a fórmula do termo geral de uma PA de primeiro termo an e razão r:
Então fica:
an = a1 + (n – 1).r
Agora cuidado! O primeiro termo desta PA não é 0,88n (da segunda semana) e sim 0,88n + r pois é dito que a partir da terceira semana, o número de bactérias cresceu em progressão aritmética de razão r.
a13 = (0,88n + r) + (13 – 1).r = 0,88n + r + 12r = 0,88n + 13r
Como é dito no enunciado que no final da décima quinta semana, o número de bactérias existentes era igual a x% do número inicial, poderemos escrever:
0,88n + 13r = x% . n
0,88n + 13r = (x/100).n
0,88n + 13r = (x.n)/100
100(0,88n + 13r) = xn
88n + 1300r = xn
xn – 88n = 1300r
n(x – 88) = 1300r
Daí, vem finalmente:
Observe que, n é um número inversamente proporcional à diferença (x – 88), ou seja, quanto menor o valor da diferença (x – 88) para x > 88, mais rápido será o crescimento de n. Por exemplo, se x = 88,01%, mantendo-se o valor da razão igual a 10, teríamos
n = (1300.10)/(88,01 – 88) = 13000/0,01 = 1300000/1 = 1300000 !!!
E se x fosse 88,001% , faça as contas e conclua que n seria igual a 13000000 !!!) .
Vou parar por aqui, senão teríamos que começar a falar da Teoria dos Limites, assunto tratado no primeiro semestre de todos os cursos da área de Ciências Exatas na Universidade.
Paulo Marques, 04 de fevereiro de 2008 – Feira de Santana – Bahia