Uma soma especial

Determinar o valor da soma
S = 1/3 + 2/9 + 3/27 + 4/81 + 5/243 + ...
onde os numeradores estão em progressão aritmética – PA e os denominadores estão em progressão geométrica – PG.

Solução:

Lembrando que:

2/9  = 1/9  + 1/9
3/27 = 1/27 + 1/27 + 1/27
4/81 = 1/81 + 1/81 + 1/81 + 1/81
........................................................
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podemos arrumar as parcelas, na forma indicada abaixo: 

S = 1/3   +
       1/9   + 1/9   +
       1/27  + 1/27  + 1/27  +
       1/81  + 1/81  + 1/81  + 1/81  +
       1/243 + 1/243 + 1/243 + 1/243 + 1/243 +
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Observando as colunas na representação acima, podemos também escrever de uma forma equivalente, somando os elementos correspondentes das mesmas colunas:

S = (1/3 + 1/9 + 1/27 + 1/81 + 1/243 + ...) + (1/9 + 1/27 + 1/81 + 1/243 + ...) + (1/27 + 1/81 + 1/243) + ...

Observando ainda que as expressões entre parênteses, são progressões geométricas decrescentes ilimitadas , poderemos escrever, lembrando que a soma dos infinitos termos de uma PG decrescente ilimitada de primeiro termo a1 e razão q é dada pela fórmula:



Teremos então:

Nota: observe que os primeiros termos são respectivamente 1/3, 1/9, 1/27, ... e a razão de cada PG é igual a 1/3.

Observando atentamente, constatamos que a soma S procurada é também uma PG de primeiro termo 1/2 e razão 1/3.  
Logo, aplicando a fórmula da soma dos infinitos termos de uma PG decrescente ilimitada vista acima, teremos, finalmente:

Portanto, a soma procurada é igual a 3/4

Agora resolva este: 

Calcule o valor da soma de infinitas parcelas,
S = 1/2 + 2/4 + 3/8 + 4/16 + 5/32 + 6/64 + 7/128 + ...
onde os numeradores estão em progressão aritmética de razão 1 e os denominadores estão em progressão geométrica de razão 2.

Resposta: S = 2.

Assunto para revisão: Progressão Geométrica

Paulo Marques, Feira de Santana – BA – 01 de julho de 2001.

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