| Uma soma especial |
Determinar
o valor da soma
S = 1/3 + 2/9 +
3/27 + 4/81 + 5/243 + ...
onde os
numeradores estão em progressão aritmética – PA e os denominadores estão
em progressão geométrica – PG.
Solução:
Lembrando que:
2/9
= 1/9 + 1/9
3/27 = 1/27 + 1/27 + 1/27
4/81 = 1/81 + 1/81 + 1/81 + 1/81
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podemos arrumar as parcelas, na forma
indicada abaixo:
S = 1/3
+
1/9
+ 1/9 +
1/27 +
1/27 + 1/27
+
1/81 +
1/81 + 1/81
+ 1/81 +
1/243 + 1/243 + 1/243 + 1/243 + 1/243 +
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Observando as colunas na representação acima, podemos também escrever de uma forma equivalente, somando os elementos correspondentes das mesmas colunas:
S = (1/3 + 1/9 + 1/27 + 1/81 + 1/243 + ...) + (1/9 + 1/27 + 1/81 + 1/243 + ...) + (1/27 + 1/81 + 1/243) + ...
Observando ainda que as expressões entre parênteses, são progressões geométricas decrescentes ilimitadas , poderemos escrever, lembrando que a soma dos infinitos termos de uma PG decrescente ilimitada de primeiro termo a1 e razão q é dada pela fórmula:
Teremos então:
Nota: observe que os primeiros termos são respectivamente 1/3, 1/9, 1/27, ... e a razão de cada PG é igual a 1/3.
Observando atentamente, constatamos
que a soma S procurada é também uma PG de primeiro termo 1/2 e razão 1/3.
Logo, aplicando a fórmula da soma dos infinitos termos de uma PG decrescente
ilimitada vista acima, teremos, finalmente:
Portanto, a soma procurada é igual a 3/4.
Agora
resolva este:
Calcule o
valor da soma de infinitas parcelas,
S = 1/2 + 2/4 + 3/8 + 4/16 + 5/32 + 6/64 + 7/128 + ...
onde os numeradores estão em progressão aritmética de razão 1 e os
denominadores estão em progressão geométrica de razão 2.
Resposta: S = 2.
Assunto para revisão: Progressão Geométrica
Paulo Marques, Feira de Santana – BA – 01 de julho de 2001.