Uma certa soma certa A soma dos quatro termos médios de uma progressão aritmética de 12 termos é igual a 56 e o produto dos extremos é igual a 75. Determine a soma dos termos desta progressão.
Solução:
Seja a Progressão Aritmética – PA : (a1 , a2 , a3 , a4 , a5 , a6 , a7 , a8 , a9 , a10 , a11 , a12) composta por 12 termos. Verificamos que os quatro termos médios são: a5, a6, a7, a8.
Nestas condições, poderemos escrever, conforme o enunciado da questão:
a5 + a6 + a7 + a8 = 56
a1 . a12 = 75
Vamos chamar o primeiro termo a1 da progressão, de x. Assim, teremos a1 = x .
Usando a fórmula do termo geral de uma PA an = a1 + (n – 1).r onde r é a razão da PA, vem:
a1 = x
a2 = x + r
a3 = x + 2r
a4 = x + 3r
a5 = x + 4r
a6 = x + 5r
a7 = x + 6r
a8 = x + 7r
a9 = x + 8r
a10 = x + 9r
a11 = x + 10r
a12 = x + 11r
Então, como já sabemos que
a5 + a6 + a7 + a8 = 56
a1 . a12 = 75
Vem, substituindo cada termo pela sua expressão equivalente acima:
(x + 4r) + (x + 5r) + (x + 6r) + (x + 7r) = 56
x .(x + 11r) = 75
Desenvolvendo as duas expressões acima, teremos:
4x + 22r = 56
x2 + 11r x = 75
Dividindo a primeira expressão acima por 2, e mantendo a segunda expressão, teremos o seguinte sistema:
2x + 11r = 28
x2 + 11r x = 75
Tirando o valor de 11r da primeira expressão e substituindo na segunda, fica:
11r = 28 – 2x
x2 + (28 – 2x).x = 75
x2 + 28x – 2x2 – 75 = 0
- x2 + 28x – 75 = 0
Multiplicando ambos os membros da equação do segundo grau acima, vem:
x2 – 28x + 75 = 0
Vemos imediatamente que as raízes desta equação são x = 25 ou x = 3.
Se necessário, revise equação do segundo grau, clicando no link acima.
Ora, como 11r = 28 – 2x, vem, substituindo os valores de x:
x = 25 Þ 11r = 28 – 2.25 , de onde tiramos 11r = -22 \ r = - 2
x = 3 Þ 11r = 28 – 2.3 , de onde tiramos 11r = 22 \ r = 2.
Portanto, as progressões aritméticas que satisfazem ao problema proposto, são:
Primeira PA, de razão - 2: (25, 23, 21, 19, 17, 15, 13, 11, 9, 7, 5, 3)
Segunda PA, de razão 2: (3, 5, 7, 9, 11, 13, 15, 17, 19, 21, 23, 25)
Observe que as duas progressões, diferem apenas na ordem dos termos; a primeira é decrescente e a segunda, crescente.
Como a soma dos n primeiros termos de uma PA de primeiro termo a1 e último termo an
é dada pela fórmula Sn = (a1 + an) / 2, vem, finalmente:
S12 = (25 + 3).12 / 2 = 28.12 / 2 = 28 . 6 = 168.
Ou seja, a soma dos 12 termos da PA proposta no enunciado é igual a: 25+23+21+19+17+15+13+11+9+7+5+3 = 168.
Agora resolva este:A soma dos quatro termos médios de uma progressão aritmética de 12 termos é igual a 74 e o produto dos extremos é igual a 70. Determine a soma dos termos desta progressão.
Resposta: 222.
Feira de Santana – BA, Paulo Marques, 04 de maio de 2002