Uma secretária muito distraída

FUVEST 2000 - 1ª FASE - Um arquivo de escritório possui 4 gavetas, chamadas a , b , c , d
Em cada gaveta cabem no máximo 5 pastas. Uma secretária guardou, ao acaso, 18 pastas nesse arquivo. Qual é a probabilidade de haver exatamente 4 pastas na gaveta  a ?

a) 3/10
b)  1/10
c)  3/20
d)  1/20
e)  1/30

Solução:

Sejam  x,  y,  z,  w, as quantidades de pastas em cada gaveta. Necessariamente deveremos ter  x + y + z + w = 18, que é o número de pastas que a secretária distraída guardou.

Esta equação linear, com a condição de no máximo 5 pastas por gaveta, conforme enunciado, somente é verificada para as seguintes condições:
5 + 5 + 5 + 3 = 18  OU  5 + 5 + 4 + 4 = 18

Trata-se então, de um problema de permutações com elementos repetidos.
O número total  de possibilidades para a primeira condição, será dada por:



O número total de possibilidades para a segunda condição será dada, analogamente por:

Como pode ocorrer uma situação OU outra, o número total de possibilidades será igual à soma: 4 + 6 = 10 possibilidades.

Este número, representa o total de possibilidades, sendo portanto, o número de elementos do espaço amostral U, ou seja: 
n(U) = 10.

Para calcular a probabilidade solicitada, deveremos saber antes, o número de eventos favoráveis – n(E) - que satisfaçam a condição especificada no problema, ou seja: haver exatamente 4 pastas na gaveta a.

O número de eventos favoráveis deverá portanto obedecer a condição: 
4
+ (5 + 5 + 4)

Como o 4 na primeira gaveta é fixo, teremos que calcular o número de permutações dos 3 elementos restantes, com 2 elementos repetidos, ou seja:

Ora, temos 3 eventos favoráveis, num total de 10 possibilidades, ou seja: n(U) = 10 e n(E) = 3
Logo, a probabilidade procurada será, finalmente, igual a:

Que é a resposta do problema, ou seja, alternativa A.

Também podemos exprimir o resultado acima na forma percentual, ou seja: 
3/10 = 0,30 = 30/100 = 30%

Assuntos que devem ser revisados:
Análise Combinatória
Probabilidades

Paulo Marques - Feira de Santana - BA - 01 outubro de 2000.

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