Binômio de Newton Segundo

Mostrar que o coeficiente de x³ no desenvolvimento de (1 + 3x + 2x²)¹⁰ é 3780.

Solução:

Simbologia: C_n,p = n! / (n – p)!.p! , conforme já vimos na Análise Combinatória.
Já sabemos que a fórmula do termo geral do Binômio de Newton  (a + b)ⁿ  é dada por:

T_p+1 = C_{n , p} . a^{n – p} . b^p

Nota: C_n,p = n! / (n – p)! . p!

Teremos:

(1 + 3x + 2x²)¹⁰ = [(1 + 3x) + 2x²]¹⁰

Aplicando a fórmula do termo geral, vem:

T_p+1 = C_{10 , p} . (1 + 3x)^{10 – p} . (2x²)^p = C_{10 , p} .2^p . x^2p . (1 + 3x)^{10 – p}

Vamos aplicar novamente a fórmula do termo geral ao binômio (1 + 3x)^{10 – p} :

T _{q + 1} = C_{10 – p , q} . 1^{10 – p – q} .(3x) ^q  =C_{10 – p , q} . 3^q . x^q

Substituindo na expressão T_p+1, vem:

T_p+1 = C_10,p . 2^p . x^2p . C_{10 – p , q} . 3^q . x^q =  C_10,p . C_{10 – p , q} . 2^p . 3^q . x ^{2p + q}

Como queremos saber qual o coeficiente do termo em x³ deveremos fazer  2p + q = 3, Teremos: q = 3 – 2p de onde concluímos inevitavelmente que p =1 e q = 1 ou p = 0 e q =3 são os valores possíveis.

Substituindo, teremos:
(a)  p = 1 e q =1
T₁₊₁ = T₂ = C_10,1 . C_10-1,1 . 2¹ . 3¹ . x³ = C_10,1 . C_9,1 .2 . 3 . x³  = 10.9.2.3.x³ = 540x³

(b) p = 0 e q = 3
T₀₊₁ = T₁ = C_10,0 . C_{10-0 , 3} . 2⁰ . 3³ . x³ = C_10,0 . C_10,3 . 1 . 27 . x³ = 3240x³

Observe que no desenvolvimento de (1 + 3x + 2x²)¹⁰os termos T₁ e T₂ são potências semelhantes em x³. Logo, basta somar esses valores, para encontrar o termo em x³, ou seja:

T₁ + T₂ = 540x³ + 3240x³ = 3780x³, o que conclui a solução do problema proposto.

Lembretes:
C_10,0 = 1
C_10,3 = 10! / 7!.3! = 10.9.8.7! / 7!.3.2.1 = 120
T₁ = 1.120.1.27.x³ = 3240x³

Esta questão compareceu no vestibular da Faculdade de Filosofia Ciências e Letras da PUC, 
na década de 60!

Se necessário, revise Números Binomiais clicando AQUI.

Agora resolva este:

Determine o termo em x¹⁵ do desenvolvimento de (x⁴ + x + 1)⁷
Resposta: 140x¹⁵

Paulo Marques - Feira de Santana - BA - 08 de dezembro de 2002.

CONTINUAR

VOLTAR