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Mais três exercícios de probabilidades |
1 - Uma urna contém bolas numeradas de 1 a 9. Sorteiam-se, com reposição, duas bolas. A probabilidade de que o número da segunda bola seja maior do que o da primeira é:
a) 8/9
b) 5/9
c) 7/9
d) 4/9
e) 1/3
Solução:
Suponha que em duas retiradas com reposição obtenhamos a primeira bola com número a e a segunda bola com
número b. O problema quer saber a probabilidade da segunda bola possuir número maior do que a primeira,
ou seja, b > a .
Observe que no sorteio de duas bolas, obteremos pares ordenados da forma (a, b) onde a é o número da primeira bola sorteada e b o número da segunda.
Vamos utilizar um raciocínio bem simples para a solução deste exercício.
Inicialmente, vamos construir a tabela de dupla entrada a seguir, (onde a primeira coluna indica a primeira bola sorteada e a primeira linha indica a segunda bola sorteada). Isto ajuda a visualizar todos os pares ordenados da forma (a,b) possíveis.
1
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3
4
5
6
7
8
9
1
x
x
x
x
x
x
x
x
2
x
x
x
x
x
x
x
3
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x
x
x
x
x
4
x
x
x
x
x
5
x
x
x
x
6
x
x
x
7
x
x
8
x
9
Verificamos que são 9.9 = 81 pares ordenados do tipo (a, b) e 36 deles (marcados em vermelho na tabela acima) satisfazem a b > a .
Verifique que 36 = 8 + 7 + 6 + 5 + 4 + 3 + 2 + 1 (soma dos 8 primeiros termos de uma PA decrescente de primeiro termo 8 e último termo 1).Observe que nenhum par do tipo (9, b) satisfaz ao enunciado pois neste caso, se a primeira bola sorteada for a 9, a segunda não poderá ter número maior, já que só existem bolas numeradas de 1 a 9.
Temos então, 36 possibilidades favoráveis ao evento “o número da segunda bola sorteada é maior do que o número da primeira bola” em 81 resultados possíveis, o que indica que a probabilidade procurada é igual a 36/81, que simplificada fica 4/9, o que nos leva à alternativa D.2 - Uma urna contém bolas numeradas de 1 a 99. Sorteiam-se, com reposição, duas bolas.
A probabilidade de que o número da segunda bola seja maior do que o da primeira é:
a) 49/99
b) 39/99
c) 69/99
d) 59/99
e) 27/99Solução:
Raciocinando analogamente ao exercício anterior, veremos facilmente que existirão98 + 97 + 96 + ... + 1 possibilidades favoráveis, de um total de 99.99. Logo, a probabilidade procurada será igual ao quociente (98 + 97 + 96 + ... + 1) / 99.99
A soma dos termos do numerador da fração acima, pode ser obtida facilmente observando que trata-se de uma PA de 98 termos, primeiro termo 98 e último termo 1 . Usando a fórmula da soma dos n primeiros termos de uma PA: Sn = [(a1 + an).n] / 2, fica:98 + 97 + 96 + ... + 1 = [(98 + 1).98] / 2 = 99.49.
A probabilidade procurada será igual então a 99.49 / 99.99 = 49/99 , o que nos leva à alternativa A .
3 - Uma urna contém bolas numeradas de 1 a n. Sorteiam-se, com reposição, duas bolas.
A probabilidade de que o número da segunda bola seja maior do que o da primeira é:
a) n/2
b) (n – 1)/2n
c) (n – 1)/3n
d) (n+1)/n
e) n/(n+1)Solução:
Trata-se de uma generalização dos problemas anteriores. Vamos novamente recorrer à tabela de dupla entrada para ajudar na visualização e entendimento da questão.
1
2
3
4
5
6
7
8
...
...
n-1
n
1
X
X
X
X
X
X
X
X
X
X
X
2
X
X
X
X
X
X
X
X
X
X
3
X
X
X
X
X
X
X
X
X
4
X
X
X
X
X
X
X
X
5
X
X
X
X
X
X
X
6
X
X
X
X
X
X
7
X
X
X
X
X
8
X
X
X
X
...
X
X
X
...
X
X
n-1
X
n
A primeira coluna indica a primeira bola sorteada e a primeira linha indica a segunda bola sorteada). Isto ajuda a visualizar todos os pares ordenados da forma (a,b) possíveis.
Verificamos que o número de casos favoráveis ao evento “o número da segunda bola sorteada é maior do que o número da primeira bola” indicados na tabela acima por X, é igual à soma dos (n – 1) termos : (n –1) + (n – 2) + (n – 3) + ... + 1.
Reconhecemos imediatamente tratar-se da soma dos termos de uma PA de primeiro termo (n – 1), número de termos (n – 1) e último termo igual a 1. Aplicando a conhecida fórmula da soma dos termos de uma PA, vem:
(n –1) + (n – 2) + (n – 3) + ... + 1 = [(n – 1) + 1](n – 1) / 2 = n.(n – 1) / 2
Ora, o total de possibilidades possíveis (total de pares ordenados) é obviamente igual a n2 .
Logo, a probabilidade procurada será igual ao quociente:
p = [n.(n – 1)/2] / n2 = (n – 1) / 2n, o que nos leva tranqüilamente à alternativa B.
Uma observação importante relativa a este problema é que, sendo a probabilidade
p = (n – 1) / 2n, podemos escrevê-la na forma:
p = n/2n – 1/2n = 1/2 - 1/2n, sendo n o número de bolas na urna.
Para valores muito grandes de n, o valor 1/(2n) vai se aproximar de zero (já que n está no denominador) e p, no limite, será igual a 1/2. Portanto, quanto maior o número de bolas contidas na urna, maior a probabilidade, a qual entretanto, nunca será maior ou igual a 1 /2 = 0,50 = 50%.
Paulo Marques - Feira de Santana - BA - 25/12/ 2004.
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