Brincando com números num dia de chuva

1 - Quantos números de quatro dígitos distintos podem ser escritos com os algarismos 1, 3, 5 e 7 ?
A) 120
B) 30
C) 24
D) 180
E) 1357

Solução:

O número procurado será igual ao número de permutações P_n = n! = 1.2.3. ... .n , onde n = 4.
Logo, P₄ = 4! = 1.2.3.4 = 24, o que nos leva à alternativa C.
Portanto, poderão ser escritos 24 números de quatro algarismos. São eles:
1357 1375 1537 1573 1735 1753 3157 3175 3517 3571 3715 3751
5137 5173 5317 5371 5713 5731 7153 7135 7315 7351 7513 7531

A) 106656
B) 106600
C) 200000
D) 109556
E) 105556

Solução:

Não seria nada elegante obter a soma solicitada, efetuando-se diretamente a adição dos 24 números escritos acima. Vamos ver um método indireto que se aplica a este e a outros casos.
Repare que um número qualquer de 4 dígitos da forma abcd onde a, b, c e d são números naturais, pode ser escrito como: 
abcd = 1000 a + 100 b + 10 c + d.
Exemplo: O número sete mil seiscentos e cinquenta e três pode ser escrito como:
7653 = 7000 + 600 + 50 + 3 = 7.1000 + 6.100 + 5.10 + 3

Posto isto, observe que na soma solicitada, o número 1 aparece 6 vezes na posição a, ou seja, o número 1 aparece 3! = 1.2.3 = 6 vezes na primeira posição; o número 3 também comparece 6 = 3! vezes na posição a, o mesmo ocorrendo com o 5 e o 7.
Logo, a soma dos algarismos da primeira posição será igual a:
(3!.1 + 3!.3 + 3!.5 + 3!.7).1000 = 3!(1 + 3 + 5 + 7).1000

Nota: a multiplicação por 1000 deve-se ao fato de que um algarismo na posição a do número abcd tem valor relativo igual a a.1000. Por exemplo, no número oito mil setecentos e sessenta e cinco = 8765, observe que o valor relativo do 8 é 8000 = 8.1000.

Já para a segunda posição b, os números 1, 3, 5 e 7 comparecem também 3! = 6 vezes, o que resulta na soma:
(3!.1 + 3!.3 + 3!.5 + 3!.7).100 = 3!(1 + 3 + 5 + 7).100
Nota: a multiplicação por 100 deve-se ao fato de que um algarismo na posição b do número abcd tem valor relativo igual a b.100. Por exemplo, no número oito mil setecentos e sessenta e cinco = 8765, observe que o valor relativo do 7 é 700 = 7.100.

Para a terceira posição c, os números 1,3,5 e 7 comparecem também 3! = 6 vezes, o que resulta na soma:
(3!.1 + 3!.3 + 3!.5 + 3!.7).10 = 3!(1 + 3 + 5 + 7).10
Nota: a multiplicação por 10 deve-se ao fato de que um algarismo na posição c do número abcd tem valor relativo igual a c.10. Por exemplo, no número oito mil setecentos e sessenta e cinco = 8765, observe que o valor relativo do 6 é 60 = 6.10.

Para a quarta e última posição d, os números 1, 3 5, e 7 comparecem também 3! = 6 vezes, o que resulta na soma:
(3!.1 + 3!.3 + 3!.5 + 3!.7).10 = 3!(1 + 3 + 5 + 7).1
Nota: a multiplicação por 1 deve-se ao fato de que um algarismo na posição d do número abcd tem valor relativo igual a a.1. Por exemplo, no número oito mil setecentos e sessenta e cinco = 8765, observe que o valor relativo do 5 é 5 = 5.1.

Verificamos que nos números da forma abcd com 4 algarismos distintos, cada algarismo a, b, c ou d, comparecem (4 - 1)! = 3! vezes em cada posição. Se fossem números da forma abcde com 5 algarismos distintos, o mesmo ocorreria (5 - 1)! = 4! vezes e, assim sucessivamente. Generalizando, se fossem números com n algarismos distintos, o mesmo ocorreria (n - 1)! vezes. Isto é verdadeiro pois fixando uma posição no número dado de n algarismos, restarão (n - 1) algarismos para serem permutados, ou seja, (n - 1)! resultados possíveis.

Assim, a soma procurada será igual a:
3!(1 + 3 + 5 + 7).1000 + 3!(1 + 3 + 5 + 7).100 + 3!(1 + 3 + 5 + 7).10 + 3!(1 + 3 + 5 + 7).1
Colocando os termos comuns em evidencia, fica:
3!(1 + 3 + 5 + 7)(1000 + 100 + 10 + 1)
Efetuando as contas indicadas, vem:
6.16.1111 = 106656 que é o valor da soma procurada, o que nos leva à alternativa A .

Nota: você pode ter achado esta solução trabalhosa e, talvez, tenha imaginado: será que somando diretamente os números não seria mais fácil?. Imagine porém, se o problema fosse calcular a soma de todas as permutações possíveis dos números 1. 3, 5, 7 e 9? Como são 5 algarismos, teríamos 5! permutações possíveis, ou seja, você teria que somar 5! = 1.2.3.45. = 120 números! Isto, se você conseguisse escrever todos os 120 números, o que seria extremamente difícil e tedioso.
Portanto, o uso da Análise Combinatória revela-se bastante proveitoso.

3 - Considere todos os números distintos de quatro algarismos da forma abcd que satisfazem às seguintes condições: 
a ¹ 0, b = a + 2, c = b + 2 e d = c + 2. Determine a soma de todos números que podem ser formados segundo o critério acima.

Solução:

Inicialmente deveremos observar que, sendo a, b, c e d componentes de um número de quatro algarismos, eles devem pertencer ao conjunto {0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9}.
Com as condições dadas no enunciado, os algarismos serão :
a = a ¹ 0
b = a + 2
c = b + 2 = (a + 2) + 2 = a + 4
d = c + 2 = (a + 4) + 2 = a + 6
Como a, b, c e d são algarismos de 1 a 9, é claro que a + 6 deve ser menor ou igual a 9, ou seja:
a + 6 £ 9, de onde resulta a £ 3. Portanto, a poderá assumir os valores 1, 2 ou 3, já que o enunciado impõe que a seja diferente de zero. 
Daí, decorre pelo enunciado e pelas igualdades acima, que:
Para a = 1, b = 3, c = 5 e d = 7.
Para a = 2, b = 4, c = 6 e d = 8
Para a = 3, b = 5, c = 7 e d = 9

Assim, teremos que os números da forma abcd serão:
1357
2468
3579
cuja soma é igual a 7404.

Paulo Marques - Feira de Santana - BA - num dia chuvoso de agosto do ano 2004.
Arquivo revisado em setembro, quando já não chovia!.
Visite AQUI um arquivo correlato ao exercício 2 acima