| Noções de Probabilidade II |
Vimos na aula anterior, que num espaço amostral U, finito e equiprovável, a probabilidade de ocorrência de um evento A é dada por:
onde n(A) = n.º de elementos de A e n(U) = n.º de elementos de U.
Sabe-se que p(A) é um número real que
pode assumir valores de 0 a 1, sendo p(A) = 0, a probabilidade de
um evento impossível (conjunto vazio) e p(A) = 1, a
probabilidade de um evento certo (conjunto universo).
Já sabemos também que definido um evento A, podemos
considerar o seu evento complementar
A’ = {x Î U; x
Ï A}.
Além disto, vimos que p(A’) = 1 – p(A).
Vejamos um exemplo de aplicação imediata das fórmulas acima:
Ao sortear ao acaso um dos números naturais menores que 100,
qual a probabilidade do número sorteado ser menor do que 30?
Ora, neste caso, o nosso espaço amostral é: U = {0,1,2,3, ... ,
99}.
O evento A é igual a: A ={0,1,2,3, ... , 29}.
O evento complementar de A é igual a: A’= {30,31,32,
... , 99}.
Temos que: n(U) = 100, n(A) = 30 e n(A’) = 70.
Portanto:
p(A) = 30/100 = 0,30 = 30%
p(A’) = 70/100 = 0,70 = 70%
Vemos que p(A) + p(A’) = 0,30 + 0,70 = 1, o que confirma que
a probabilidade de um evento somada à probabilidade do seu
evento complementar, é igual à unidade.
Vimos também na aula anterior que, sendo A
e B dois eventos do espaço amostral U, podemos escrever:
p(A
È
B) = p(A)
+ p(B) – p(A
Ç
B)
Vejamos um exemplo de aplicação da fórmula supra:
No lançamento de um dado, determine a probabilidade de se obter
um número ímpar ou mais de 4 pontos na face de cima.
Ora, neste caso, teremos:
Espaço amostral: U = {1,2,3,4,5,6} \ n(U) = 6
Evento A: A = {1,3,5} \ n(A) = 3
Evento B: B = {5,6} \ n(B) = 2
Evento interseção: A Ç B = {5}
\ n(A Ç B) = 1
Então, vem: p(A È B) = 3/6 + 2/6 – 1/6 = 4/6 = 2/3 = 0,6667 = 66,67%.
NOTA: Se A Ç B =
f , então dizemos que A e B são
eventos mutuamente exclusivos, e, neste caso,
p(A È B) = p(A) + p(B),
já que p(Æ) = 0 [evento impossível].
Vejamos um exemplo ilustrativo do caso acima:
Suponha que no lançamento de um dado, deseja-se saber qual a
probabilidade de se obter um número par ou um número
menor do que 2.
Temos os seguintes eventos:
A = {2,4,6} \
n(A) = 3
B = {1} \ n(B)
= 1
A Ç B = Æ
\ n(A Ç B) = 0
Portanto, p(A È B) = 3/6 + 1/6 = 4/6 = 2/3 = 0,6667 = 66,67%
Vimos também na aula anterior, que a probabilidade
de ocorrência simultânea de dois eventos A e B é dada por:
p(A Ç B) = p(A)
. p(B/A) OU p(A
Ç B) = p(B) . p(A/B)
onde:
p(A/B) = probabilidade de ocorrer A, sabendo-se que ocorreu o
evento B.
p(B/A) = probabilidade de ocorrer B, sabendo-se que ocorreu o
evento A.
Se a ocorrência do evento B não modifica a chance de
ocorrer o evento A, diremos que os eventos A e B são
INDEPENDENTES e, neste caso, teremos que p(B/A) = p(B), e a fórmula
resume-se a:
p(A
Ç
B) = p(A).p(B)
O exemplo ilustrativo a seguir, ajudará
a entender a afirmação supra:
Qual a probabilidade de
em dois lançamentos de um dado, se obter número par no primeiro e número ímpar no segundo?
Ora, os eventos são obviamente
independentes, pois a ocorrência de um não afeta o outro.
Logo,
teremos:
p(A Ç B) = p(A).p(B)
= 3/6 . 3/6 = 1/2.1/2 = 1/4 = 0,25 = 25%.
Vejamos agora, um exemplo de eventos
dependentes:
Suponha que uma caixa
possui duas bolas pretas e quatro verdes, e, outra caixa possui
uma bola preta e três bolas verdes. Passa-se uma bola da
primeira caixa para a segunda, e retira-se uma bola da segunda
caixa. Qual a probabilidade de que a bola retirada da segunda
caixa seja verde?
Este problema envolve dois eventos
mutuamente exclusivos, quais sejam:
Ou a bola transferida
é verde ou a bola transferida é preta.
Ora, teremos: (observe atentamente a
simbologia utilizada, comparando com o que foi dito anteriormente).
1ª possibilidade: a
bola transferida é verde :
Probabilidade de que a bola transferida seja verde = p(V) = 4/6 =
2/3
(4 bolas verdes em 6).
Portanto, a probabilidade que saia BOLA VERDE na 2ª caixa,
supondo-se que a bola transferida é de cor VERDE, será
igual a:
P(V/V’) = 4/5 (a segunda caixa possui agora, 3 bolas verdes
+ 1 bola verde transferida + 1 bola preta, portanto, 4 bolas
verdes em 5).
Pela regra da probabilidade condicional, vem:
P(V Ç V’)
= p(V) . p(V/V’) = 2/3 . 4/5 = 8/15
2ª possibilidade: a
bola transferida é preta :
Probabilidade de que a bola transferida
seja preta = p(P) = 2/6 = 1/3
(2 bolas pretas e 4 verdes, num total de 6).
Portanto, a probabilidade que saia BOLA VERDE, supondo-se que a
bola transferida é de cor PRETA, será igual a:
P(V/P) = 3/5 (observe que a segunda caixa possui agora, 1 bola
preta + 3 bolas verdes + 1 bola preta transferida = 5 bolas).
Daí, vem:
p(V Ç P) = p(P)
. p(V/P) = 1/3 . 3/5 = 1/5.
Finalmente vem:
P[(V Ç V’)
È (V Ç P)] = p(V
Ç V’) + p(V
Ç P) = 8/15 + 1/5 = 8/15
+ 3/15 = 11/15, que é a resposta do problema.
Mas 11/15 = 0,7333 = 73,33%
Portanto, a
probabilidade de que saia uma bola verde é de 73,33%.
Uma interpretação válida para o problema acima é que se o
experimento descrito for repetido 100 vezes, em aproximadamente
73 vezes será obtido bola verde. Se o experimento for repetido
1000 vezes, em aproximadamente 733 vezes será obtido bola verde;
e se o experimento for repetido um milhão de vezes?
Resposta:
obteremos bola verde em aproximadamente 7333 vezes. Perceberam?
Agora, resolva este:
Uma caixa contém três
bolas vermelhas e cinco bolas brancas e outra possui duas bolas
vermelhas e três bolas brancas. Considerando-se que uma bola é
transferida da primeira caixa para a segunda, e que uma bola é
retirada da segunda caixa, podemos afirmar que a probabilidade de
que a bola retirada seja da cor vermelha é:
a) 18/75
b) 19/45
c) 19/48
d) 18/45
e) 19/75
Resposta: C
Nota: 19/48 = 39,58%, ou seja, em 10.000
experimentos, seriam obtidos aproximadamente 3958 bolas brancas.
Em 100 experimentos? Claro que teríamos aproximadamente 39 bolas
brancas.
Paulo Marques - Feira de Santana/BA - arquivo revisado em 26/12/2000.