Número de soluções inteiras e não negativas de uma equação linear

Considere a equação linear a seguir:
x1 + x2 + x3 + ... + xn = b, onde b
Î (N = conjunto dos números naturais).

As soluções desta equação, são os valores de x1, x2, ... , xn   que formam um conjunto ordenado
(x1,x2,x3,...,xn), denominado n - upla (ênupla) ordenada.

Exemplo: 

Seja a equação linear x1 + x2 + x3 = 3.
As soluções inteiras não negativas da equação acima são as ênuplas:
(0,0,3)
(0,1,2)
(0,2,1)
(0,3,0)
(1,0,2)
(1,1,1)
(1,2,0)
(2,0,1)
(2,1,0)
(3,0,0)
Observe que existem 10 soluções inteiras não negativas para a equação dada.

Considere agora o problema seguinte:

Existem quantas soluções inteiras não negativas, para a equação linear:
x1 + x2 + x3 + ... + xn = b, com b
Î N ?

Demonstra-se que o número Y, de soluções inteiras não negativas desta equação linear, é dada por:

Portanto, o número Y de soluções inteiras e não negativas da equação linear dada é:

1 – Qual o número de soluções inteiras não negativas da equação x + y + z = 5 ?

Solução:

Temos: n = 3 e b = 5. Logo:

Resposta: 21 soluções inteiras e não negativas.

2 – Qual o número de soluções inteiras não negativas da equação x + y + z + w = 3?

Solução:

Temos n =4 e b = 3. Logo,

Resposta: 20 soluções inteiras e não negativas.

Agora resolva este:

Qual o número de soluções inteiras não negativas da equação linear
x + y + z + w + t = 2?

Resposta:
15 soluções inteiras não negativas.

Paulo Marques, arquivo atualizado em 15/12/2000.

CONTINUAR

VOLTAR