| Número de soluções inteiras e não negativas de uma equação linear |
Considere a equação linear a
seguir:
x1 + x2 + x3 + ... + xn
= b, onde b Î N (N = conjunto dos números naturais).
As soluções desta equação, são os valores de x1,
x2, ... , xn que formam um conjunto
ordenado
(x1,x2,x3,...,xn),
denominado n - upla (ênupla) ordenada.
Exemplo:
Seja a equação linear x1
+ x2 + x3 = 3.
As soluções inteiras não negativas da equação acima são as
ênuplas:
(0,0,3)
(0,1,2)
(0,2,1)
(0,3,0)
(1,0,2)
(1,1,1)
(1,2,0)
(2,0,1)
(2,1,0)
(3,0,0)
Observe que existem 10 soluções inteiras não negativas
para a equação dada.
Considere agora o problema seguinte:
Existem quantas soluções inteiras não
negativas, para a equação linear:
x1 + x2 + x3 + ... + xn
= b, com b Î
N ?
Demonstra-se que o número Y, de soluções inteiras não
negativas desta equação linear, é dada por:
Portanto, o número Y de soluções inteiras e não negativas da equação linear dada é:
1 – Qual o número de soluções inteiras não negativas da equação x + y + z = 5 ?
Solução:
Temos: n = 3 e b = 5. Logo:
Resposta: 21 soluções inteiras e não negativas.
2 – Qual o número de soluções
inteiras não negativas da equação x + y + z + w = 3?
Solução:
Temos n =4 e b = 3. Logo,
Resposta: 20 soluções inteiras e não negativas.
Agora resolva este:
Qual o
número de soluções inteiras não negativas da equação linear
x + y + z + w + t = 2?
Resposta: 15 soluções inteiras não negativas.
Paulo Marques, arquivo atualizado em 15/12/2000.