Três exercícios de Trigonometria

1 – Dada a função:

f(x) = sen⁶x + cos⁶x – 2sen⁴x – cos⁴x + sen²x,

pede-se calcular o valor de

.

Solução:

Vamos inicialmente, simplificar a expressão que define a função dada. Temos:
f(x) = sen⁶x + cos⁶x – 2sen⁴ x – cos⁴ x + sen²x

Arrumando convenientemente, vem:
f(x) = sen⁶x – 2sen⁴x + sen²x + cos⁶x – cos⁴x

Fatorando a expressão convenientemente em relação a senx e cosx, vem:
f(x) = sen²x (sen⁴x – 2sen²x + 1) + cos⁴x(cos²x – 1)

Observe que:
sen⁴x – 2sen²x + 1 é igual a: (sen²x – 1)².
Nota: Lembre-se que p² – 2pq + q² = (p – q)² [produto notável].

Daí, substituindo, vem:
f(x) = sen²x(sen²x – 1)² + cos⁴x(cos²x - 1)

Mas, sabemos da Trigonometria, que:
sen²x + cos²x = 1 (Relação Fundamental)
Portanto:
sen²x = 1 – cos²x = - (cos²x – 1) \ cos²x – 1 = - sen²x
cos²x = 1 – sen²x = - (sen²x – 1) \ sen²x – 1 = - cos²x

Substituindo na expressão da função, vem:
f(x) = sen²x[- cos²x]² + cos⁴x (- sen²x)
f(x) = sen²x . cos⁴x – cos⁴x . sen²x
f(x) = sen²x.cos⁴x – cos⁴x . sen²x = sen²x.cos⁴x – sen²x.cos⁴x = zero.

Ora, f(x) é então igual a zero, independente do valor de x.

Portanto:



E, portanto, a soma indicada é nula ou seja:


Resposta: 0

2 – Calcule o triplo do quadrado do coseno de um arco cujo quadrado da tangente vale 2.

Solução:

Seja x o arco. Teremos:
tg²x = 2
Desejamos calcular 3.cos²x, ou seja, o triplo do quadrado do coseno do arco.
Sabemos da Trigonometria que: 1 + tg²x = sec²x
Portanto, substituindo, vem: 1 + 2 = sec²x = 3
Como sabemos que:
secx = 1/cosx , quadrando ambos os membros vem:
sec²x = 1/ cos²x \ cos²x = 1/sec²x = 1/3 \ 3cos²x = 3(1/3) = 1
Portanto, o triplo do quadrado do coseno do arco cuja tangente vale 2, é igual à unidade.
Resposta: 1

Agora resolva este:
Se a . senx – cosx = 1 e b . senx + cosx = 1, calcule o produto a.b
Resposta: 1

Paulo Marques, Feira de Santana - BA, nos idos de novembro 1997, com revisão em 30/09/06.

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