Trigonometricamente falando

Observando os dados da figura abaixo, podemos afirmar que o valor de
4cos²b - Ö3 é igual a :

a) 2
b) 6
c) 8
d) 4
e) 1

Solução:

Inicialmente vamos ler a figura acima:

1) os pontos A, B e C são colineares, ou seja, estão alinhados, o que eqüivale a dizer que pertencem à mesma reta.

2) as retas r e s são perpendiculares, ou seja, formam entre si um ângulo reto = 90º.

Vamos à solução:

No triângulo retângulo BOC acima, é factível escrever:

cos b = OC / BC (igualdade I)

Justificativa: o cosseno do ângulo b é igual ao quociente do cateto adjacente (na figura acima, OC) pela hipotenusa (na figura acima, BC).

Aplicando a lei dos senos ao triângulo AOC, podemos escrever:

AO / sen b = OC / sen 30º (igualdade II)

Da igualdade I, vem que OC = BC . cosb (igualdade III)

Da igualdade II, vem que AO. sen30º = OC . senb (igualdade IV)

Lembrete: se A/B = C/D então A.D = B.C , para A, B, C e D não nulos. Lembram-se quando o seu professor do 1º grau sempre repetia: numa proporção, o produto dos meios é igual ao produto dos extremos? Pois, é isto aí!

Substituindo o valor de OC (da igualdade III), na igualdade IV, fica:

AO.sen30º = (BC.cosb).senb

Como foi dito no enunciado que BC = 2.AO vem, substituindo:

AO.sen30º = (2.AO).cosb.senb
Simplificando o termo comum AO, fica:
sen30º = 2.cosb.senb

Ora, 2.cosb.senb = sen2b (seno do arco duplo) e, portanto:
sen30º=sen2b

Como no triângulo AOC o ângulo <AOC é maior do que 90º, podemos concluir que 
30º + b é um ângulo menor do que 90ºe , portanto, b é um ângulo agudo. Isto decorre da lei angular de Tales: a soma dos ângulos internos de um triângulo é igual a 180º.
(Tales de Mileto – matemático grego – 624 a. C. - 548 a. C.).

Portanto, podemos concluir que 30º = 2b de onde vem b = 15º.

Nota: o comentário acima justifica-se porque na verdade a equação
sen30º = sen2b possui infinitas soluções em R (conjunto dos números reais).

Mas como 30º e b são ângulos agudos (menores do que 90º), a conclusão de que
2b = 30º, é correta.

Logo, cosb = cos15º
O problema pede para calcular o valor de 4cos²b - Ö3 , ou seja,
como b = 15º, na verdade teremos que calcular 4cos²15º - Ö3.

Teremos que calcular antes, o valor de cos15º.

Ora, cos15º = cos(60º - 45º) pois 60 – 45 =15.

Usando a fórmula do cosseno da diferença de dois arcos, vem:

cos15º = cos(60º-45º) = cos60º.cos45º + sen60º.sen45º

Como já sabemos que:

cos60º = 1/2
cos45º = sen45º = Ö2/2
sen60º = Ö3/2

Nota: os valores do seno e cosseno dos arcos ditos notáveis (30, 45 e 60º), vocês devem conhecer de memória, pois nas provas de vestibulares, os examinadores admitem que você os conhece e não informarão, salvo raríssimas exceções.

Logo,
cos15º = (1/2).(Ö2/2) + (Ö3/2).(Ö2/2)
Efetuando as operações indicadas, fica:
cos15º = (Ö6 + Ö2) / 4

Daí vem: 4.cos15º = Ö6 + Ö2

Elevando ambos os membros ao quadrado, fica:

16.cos²15º = 6 + 2 + 2Ö12
Nota: lembre-se que (a+b)² = a² + 2ab + b²

Então:

16.cos²15º = 8 + 2Ö12 = 2(4 + Ö12)
16.cos²15º = 2(4 + Ö12)
Ora, Ö12 = (12)^1/2 = (4.3)^1/2 = 4^1/2.3^1/2 = Ö4 . Ö3 = 2Ö3
Portanto,
16.cos²15º = 2(4 + 2Ö3)
Dividindo ambos os membros por 2:
8.cos²15º = 4 + 2Ö3
Colocando 2 em evidencia no segundo membro da igualdade acima:
8.cos²15º = 2(2 + Ö3)
Dividindo ambos os membros por 2:
4.cos²15º = 2 + Ö3
Então, finalmente, passando Ö3 para o primeiro membro:
4cos²15º - Ö3 = 2, o que nos leva, tranqüilamente à alternativa A.

Agora resolva este:

Qual o valor do ângulo <AOC na figura do problema resolvido acima, em radianos?
Resposta: 3p/4 radianos
Nota: lembre-se que 180º = p radianos.

Paulo Marques, 14 de fevereiro de 2004 - editado em 25/11/2012. – Feira de Santana - BA  VOLTAR