Trigonometria IV

1 - Simplifique a expressão a seguir:

Solução:

Das aulas anteriores, poderemos escrever:

2 - Sendo x um arco tal que cosx = tgx , calcule senx.

Solução:
 
Sabemos que tgx = senx / cosx. 
Substituindo tgx por cosx (dado do problema), vem:
cosx = senx / cosx donde vem: cos2x = senx. Mas,
cos2x = 1 - sen2x . 
Substituindo, fica: 1 - sen2x = senx.
Daí, vem: sen2x + senx - 1 = 0
Fazendo senx = y e substituindo: y2 + y - 1 = 0.
Resolvendo esta equação do 2º grau, usando a fórmula de Bhaskara, fica:

Como y = senx, somos tentados a dizer que existem dois valores para senx, dados pela igualdade acima. Lembre-se porém que o seno de um arco é um número que pode variar 
de -1 a +1. Portanto, somente um dos valores acima satisfaz o problema ou seja:

que é a resposta procurada.

3 - Para que valor de m a expressão
y = (m - 1)(sen4x - cos4x) + 2cos2x + m.cosx - 2.cosx + 1 é independente de x?

Solução:

Podemos escrever:
y = (m - 1)[(sen2x - cos2x)(sen2x + cos2x)] + 2cos2x + mcosx - 2cosx + 1
Como sen2x + cos2x = 1, substituindo, fica:
y = (m - 1)(sen2x - cos2x) + 2cos2x + mcosx - 2cosx + 1
y = msen2x - mcos2x - sen2x + cos2x + 2cos2x + mcosx - 2cosx + 1
Escrevendo tudo em função de cosx, lembrando que sen2x = 1 - cos2x, vem:
y = m(1 - cos2x) - mcos2x - (1 - cos2x) + cos2x + 2cos2x + mcosx - 2cosx + 1
y = m - mcos2x - mcos2x - 1 + cos2x + cos2x + 2cos2x + mcosx - 2cosx + 1
Simplificando os termos semelhantes, fica:
y = m + (4 - 2m)cos2x + (m - 2)cosx
Para que a expressão acima seja independente de x, deveremos ter necessariamente 4 - 2m = 0 e m - 2 = 0

\ m = 2, que é a resposta procurada.

4 - Agora resolva você mesmo:
 
Para que valor de m a expressão
y = m(sen4x - cos4x) + 2cos2x - 1 + m é independente de x?
Resposta: m = 1

5 - Sabendo que senx + cosx = m, calcule (m2 - 1)y      sendo y dado pela expressão:

Resposta: m(3 - m2).

Sugestão: Eleve ambos os membros da igualdade dada ao cubo, ou seja:
(senx + cosx)3 = m3 , lembrando que (a+b)3 = a3 + b3 + 3(a+b).ab.
Eleve também ambos os membros da expressão dada ao quadrado, ou seja:
(senx + cosx)2 = m2 , lembrando que (a+b)2 = a2 + 2ab + b2.

Paulo Marques -  Feira de Santana - BA, nos idos de setembro 1997, com revisão em 30/09/06.

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